[고체역학] Torsion(비틀림) - 예제 문제 p. 3.4-11 관련 질문 (engineering, study, torsion, mechanics, professor, problem-solving, formulas, calculus, twist angle, bar length)

질문 요약

torsion 외워야 할 공식을 외웠는데, 문제를 풀다보니 angle of twist 값을 구할 때 d(angle of twist)=Tdx/GI에서 L이 사라진 이유를 모르겠습니다. L이 정해진 값인데, 왜 그런지 설명 부탁드립니다.

답변 요약

dx(또는 dz)를 0부터 L까지 적분하면 bar의 길이인 L이 됩니다. 보통 0에서 L까지 토크가 일정하거나 특수한 조건이 없기 때문에 angle of twist = TL/GI로 외워도 됩니다. 그러나 어려운 문제에서는 bar 안에서도 토크나 단면적이 바뀔 수 있어서 공식을 외우기보다 유도 과정을 잘 이해하는 것이 중요합니다.

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[고체역학] Torsion(비틀림) - 예제 문제 p. 3.4-11 관련 질문

오늘은 고체역학에서 중요한 개념인 비틀림(Torsion)과 관련된 예제 문제를 다뤄보겠습니다. 특히, angle of twist 값을 구할 때 사용되는 공식을 이해하는 데 중점을 두겠습니다.

질문: torsion 외워야 할 공식을 외웠는데, 문제를 풀다보니 angle of twist 값을 구할 때 d(angle of twist)=Tdx/GI에서 L이 사라진 이유를 모르겠습니다. L이 정해진 값인데, 왜 그런지 설명 부탁드립니다.

답변: dx(또는 dz)를 0부터 L까지 적분하면 bar의 길이인 L이 됩니다. 보통 0에서 L까지 토크가 일정하거나 특수한 조건이 없기 때문에 angle of twist = TL/GI로 외워도 됩니다. 그러나 어려운 문제에서는 bar 안에서도 토크나 단면적이 바뀔 수 있어서 공식을 외우기보다 유도 과정을 잘 이해하는 것이 중요합니다.

기본 개념: Torsion(비틀림)

먼저 비틀림의 기본 개념을 짚고 넘어가겠습니다. 비틀림은 구조물이나 기계 부품이 외부의 토크(Torque)에 의해 회전하는 현상을 의미합니다. 이때 구조물의 각 부분은 서로 다른 각도로 회전하게 되며, 이를 angle of twist라고 합니다.

비틀림 공식

비틀림에서 중요한 공식은 다음과 같습니다:

1. 전단응력(Torsional Shear Stress):
   \[ \tau = \frac{T \cdot r}{J} \] 여기서 \(\tau\)는 전단응력, \(T\)는 토크, \(r\)은 반지름, \(J\)는 단면 2차 모멘트입니다.
2. 비틀림 각도(Angle of Twist):
   \[ \theta = \frac{T \cdot L}{G \cdot J} \] 여기서 \(\theta\)는 비틀림 각도, \(L\)은 길이, \(G\)는 전단탄성계수, \(J\)는 단면 2차 모멘트입니다.

예제 문제 분석

이제 질문에서 언급한 공식을 살펴보도록 하겠습니다. 질문에서 제시된 공식은 다음과 같습니다:

\[ d(\theta) = \frac{T \cdot dx}{G \cdot I} \]

여기서 중요한 점은 dx가 0부터 L까지 적분된다는 것입니다. 즉, 아래와 같은 적분을 수행하면:

\[ \int_0^L d(\theta) = \int_0^L \frac{T \cdot dx}{G \cdot I} \]

이 적분의 결과는 다음과 같이 됩니다:

\[ \theta = \frac{T \cdot L}{G \cdot I} \]

즉, \(dx\)를 0부터 \(L\)까지 적분하면 \(L\)이 됩니다. 그래서 최종 결과에서 \(L\)이 나타나게 됩니다. 이로써 비틀림 각도(Angle of Twist) 공식을 얻게 됩니다.

왜 공식 암기보다 유도 과정이 중요한가?

공식을 단순히 암기하는 것은 특정 조건에서는 유용할 수 있습니다. 예를 들어, 토크가 일정하고 단면적이 일정한 경우에는 공식 \(\theta = \frac{T \cdot L}{G \cdot I}\)를 바로 사용할 수 있습니다. 하지만 실전 문제에서는 토크가 일정하지 않거나 단면적이 변화하는 등 복잡한 조건이 주어질 수 있습니다.

이런 경우에는 공식을 외우기보다는 유도 과정을 이해하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 토크가 위치에 따라 다를 경우에는 다음과 같은 적분을 수행해야 합니다:

\[ \theta = \int_0^L \frac{T(x)}{G \cdot I(x)} dx \]

이처럼 유도 과정을 이해하면 다양한 조건에서도 정확히 비틀림 각도를 구할 수 있습니다.

결론

비틀림과 관련된 공식을 올바르게 이해하는 것은 매우 중요합니다. 단순한 암기로는 복잡한 문제를 해결하기 어렵기 때문에, 유도 과정을 통해 공식을 이해하는 것이 필요합니다. 특히, 비틀림 각도(Angle of Twist)를 구할 때는 적분을 통해 공식을 유도하는 과정을 잘 숙지해야 합니다.

다음 시간에는 더 복잡한 예제 문제를 통해 비틀림과 관련된 다양한 상황을 다뤄보겠습니다. 감사합니다!

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