[공업열역학] 보간법 질문 (Interpolation method, superheated vapor table, temperature, pressure, volume, pressure, linear relationship, average value, industrial thermodynamics)

질문 요약

보간법에 대해 궁금한 점이 생겨 질문을 올리게 됩니다. 과열수증기표에서 T=200C, P=0.6Mpa 일때 v=0.3520m^3/kg T=200C, P=0.8Mpa 일때 v=0.2608m^3/kg 이고 T=200C , P=0.7Mpa 일때 v를 구하는 과정에서 T=200C P=0.7Mpa 에서 v= (0.3520+0.2608)/2 라고 전공책의 연습문제에서 위와 같이해설이 되어있는데, 선형관계가 이루어지는지 의문이 들어 과열수증기표에서 동일온도 조건으로 p=1.0Mpa일 때와 p=1.40Mpa 의 v의 평균을 내었더니, 동일온도의 1.2Mpa에서 v가 테이블과 다르게 나왔습니다. 이는 선형 관계가 이루어지지 않음을 의미하고 위의 해설과 같이 보간법,평균값을 저런 식으로 쓸 수 있는지 궁금하여 질문을 올리게 됩니다. 혹은 오차를 조금 부담하고 저런 식으로 쓰였는지 궁금합니다. #공업열역학 #보간법 #평균값

답변 요약

질문주신 내용을 정리하자면, (Cengel Table 기준) - P = 1.00 MPa: v=0.20602 m3/kg (T=200˚C) - P = 1.20 MPa: v=0.16934 m3/kg (T=200˚C) - P = 1.40 MPa: v=0.14303 m3/kg (T=200˚C) 이기 때문에 1.00 MPa 와 1.40MPa에서의 v 평균값인 0.174525 m3/kg 와 차이를 보인다는 것이었습니다. 지적해주신 것처럼 보간법은 아주 작은 변위에 해당하는 값을 선형적인 것을 가정하여 구하는 것이기 때문에 0.20 MPa라는 큰 차이에서는 오차를 보이는 것 같습니다. 정확한 상태량을 구하기 위해서는 문제의 조건을 고려해야 하는 경우가 많기 때문에 (보간법의 오차를 고려하지 않을 수도 있겠지만, 보통은 더욱 정확한 방법이 존재합니다.) 제가 여기서 들릴 수 있는 답변은 범위가 크면 클수록 선형적인 관계로써 가정하기 어려워지므로 보간법에서의 값과 실제값 사이에 오차가 커진다는 것입니다.

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공업열역학에서의 보간법에 대한 이해와 적용

보간법은 공업열역학과 같은 공학 분야에서는 필수적인 도구 중 하나입니다. 주어진 두 데이터 사이의 값을 예측하기 위해 사용하는 방법으로, 특히 열역학에서는 물질의 상태를 나타내는 여러 속성 값들 사이에서 미지의 값들을 추정할 때 유용하게 사용됩니다.

질문자분께서는 과열수증기표를 사용하여 주어진 조건에서의 비체적(v)을 구하는 과정에서 범위 내 선형적인 관계를 가정하는 것에 대해 의문을 제기하셨습니다. 예를 들어, T=200℃, P=0.6Mpa일 때 v=0.3520m3/kg이고, T=200℃, P=0.8Mpa일 때 v=0.2608m3/kg인 경우, T=200℃, P=0.7Mpa일 때의 v값을 구하기 위해 단순 평균을 취하는 방식에 대한 오류를 지적하셨습니다.

실제로 이러한 방식은 근사적인 방법으로, 실제 물리적 성질 간의 관계가 비선형일 수 있음을 고려하지 않은 상태에서 적용된 것입니다. 이는 특히, 변화하는 범위가 넓거나 물질의 상태가 복잡한 변화를 보이는 경우에 오차를 발생시킬 수 있습니다.

올바른 보간법을 적용하기 위해서는 다음과 같은 과정을 따르는 것이 일반적입니다:

1. P와 v사이의 관계가 선형이라고 가정할 수 있는 범위를 선택합니다.
2. 해당 범위 내에서 주어진 두 점을 연결하는 직선의 방정식을 구합니다.
3. 원하는 압력 값에 대응하는 비체적 값을 직선 방정식을 통해 계산합니다.

실제 계산 예시는 다음과 같습니다. 주어진 두 점 (P1, v1)과 (P2, v2)가 있을 때, 이 둘 사이의 비체적 v 값을 구하는 공식은 선형 보간법을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$$ v = v1 + \frac{(P - P1)}{(P2 - P1)} \cdot (v2 - v1) $$

이 때, P는 원하는 압력 값이며, P1 < P < P2의 범위 내에 있어야 합니다.

질문자분이 제시한 예시에서, P=0.6Mpa와 P=0.8Mpa 사이의 P=0.7Mpa에서의 비체적을 구하기 위해 선형 보간법을 적용하면 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$$ v_{0.7Mpa} = 0.3520 + \frac{(0.7 - 0.6)}{(0.8 - 0.6)} \cdot (0.2608 - 0.3520) $$ $$ v_{0.7Mpa} = 0.3520 + 0.5 \cdot (-0.0912) $$ $$ v_{0.7Mpa} = 0.3520 - 0.0456 $$ $$ v_{0.7Mpa} = 0.3064 m^3/kg $$

위 계산에서는 비체적 값이 P에 따라 선형적으로 변한다고 가정하였으나, 실제로는 더 복잡한 비선형 관계를 가질 수 있습니다. 따라서 고정된 범위 내에서의 선형 가정은 일정한 오차를 감수해야 할 수 있습니다.

요약하자면, 보간법은 정확한 값을 구하기 위한 하나의 방법이지만, 실제 물리적 관계의 복잡성을 모두 반영하지 못할 수 있으며, 넓은 범위에 걸쳐 적용할 때는 특히 오차가 커질 수 있습니다. 따라서 가능한 한 작은 범위 내에서 선형 가정을 적용하고, 더 정밀한 값을 요구하는 상황에서는 보다 정교한 방법을 사용해야 합니다.

실제 열역학 문제를 해결할 때는 주어진 상태표를 정확하게 해석하고, 필요에 따라 적절한 보간법을 사용하는 것이 중요합니다. 또한 보간법을 적용할 때는 오차의 범위를 인지하고, 그에 따른 결과의 신뢰성을 고려해야 합니다.

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