로켓 문제에서 레이놀즈 수송 정리의 베타 값과 속도 차이 (rocket, fluid dynamics, reynolds transport theorem, control volume, flux, velocity differences)

질문 요약

로켓 문제에서 레이놀즈 수송 정리로 전개할 때, 연료 측 control volume에서 베타와 면적분에 사용하는 속도가 다른 이유를 이해하지 못하겠습니다. 베타는 CS에서 순간적으로 나오는 속도이고, 면적분에 사용하는 속도는 CS로 들어가는 속도라고 하셨는데, 왜 다른지 설명 부탁드립니다. 'CS에서 순간적으로 나오는 속도를 통해 계산된 질량유량'과 'CS를 통한 유입/유출 속도'의 차이도 알고 싶습니다. (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1EJxwNvQxGR9kgbGQS82y0ekATxecdgaZ)

답변 요약

질문을 요약하다면 다음과 같습니다. 1. CV 속도: β = v0 2. CS에서의 질량유량 계산 속도: β = v 3. CS에서의 유입/유출 속도: ve = −(v−v0) 질문: 왜 같은 시스템에서 CS의 속도가 다른가? 이 문제는 레이놀즈 수송 정리 중에서도 가장 어려운 variable mass 문제입니다. CV 속도는 로켓의 속도 v0와 같아야 합니다. 그러나 CS에서의 속도 베타는 로켓이 실제로 발사되는 속도와 같아야 하므로 β = v가 됩니다. 반면에, CS로 들어가는 속도 ve는 gas의 원래 속도 v0를 뺀 상대 속도로 계산해야 하므로 ve = −(v−v0)가 됩니다. 이해가 어려우시면 '변수가 다르게 대입될 수 있구나'라고 넘어가세요. 책의 Reynold Transport Theorem에서 variable mass 문제를 풀어보시면 더 이해가 될 것입니다. 질문에 대한 답변이 되길 바랍니다. 감사합니다!

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로켓 문제에서 레이놀즈 수송 정리의 베타 값과 속도 차이

로켓 문제를 풀 때 레이놀즈 수송 정리를 사용하는 것은 매우 중요한 기법 중 하나입니다. 그러나 이 과정에서 사용되는 다양한 속도와 변수들이 혼란을 줄 수 있습니다. 본 블로그에서는 이러한 혼란을 풀어내고, 각각의 변수들이 의미하는 바를 명확히 설명하고자 합니다.

먼저 질문을 다시 요약해보겠습니다.

1. CV(CV: Control Volume)의 속도: β = v₀
2. CS(CS: Control Surface)에서의 질량유량 계산 속도: β = v
3. CS에서의 유입/유출 속도: vₑ = −(v−v₀)

질문은 왜 같은 시스템에서 CS의 속도가 다르게 정의되는가에 대한 것입니다. 이를 이해하기 위해서는 레이놀즈 수송 정리와 로켓 문제에서의 다양한 속도를 명확히 이해해야 합니다.

레이놀즈 수송 정리와 로켓 문제

레이놀즈 수송 정리(Reynolds Transport Theorem)는 변수를 공간적 제어 체적(Control Volume)으로 확장하여 변화를 분석하는 기법입니다. 이를 통해 물리적인 법칙을 제어 체적 개념을 사용해 설명할 수 있습니다. 로켓 문제에서는 연료가 연소되어 배출되는 과정을 분석하는 데 사용됩니다.

CV 속도와 CS 속도의 차이

먼저, 제어 체적(CV)의 속도는 로켓 전체의 이동 속도를 의미합니다. 이를 v₀로 정의합니다. 이는 로켓이 이동하는 평균 속도로, 제어 체적 내부의 모든 물질이 동일한 속도로 이동한다고 가정합니다.

반면, 제어 표면(CS)에서의 속도는 제어 체적을 통과하는 물질의 순간적인 속도를 의미합니다. 이는 로켓 내부에서 연소된 연료가 배출되는 속도를 의미하며, 이를 v로 정의합니다.

마지막으로, CS로 들어가는 속도인 vₑ는 로켓의 상대 속도로 계산됩니다. 이는 연료가 배출될 때 로켓이 이동하는 속도를 감안하여 계산됩니다. 따라서 vₑ = −(v−v₀)가 됩니다. 여기서 v는 연료가 배출되는 속도, v₀는 로켓의 이동 속도입니다.

질량유량 계산과 속도의 차이

질문에서 'CS에서 순간적으로 나오는 속도'와 'CS를 통한 유입/유출 속도' 간의 차이에 대해 묻고 있습니다. 이는 다음과 같이 이해할 수 있습니다.

• CS에서 순간적으로 나오는 속도: 이는 연료가 로켓에서 배출되는 즉시의 속도입니다. 즉, v로 표현됩니다.
• CS를 통한 유입/유출 속도: 이는 연료가 로켓 내부에서 외부로 유입/유출되는 속도로, 로켓의 이동 속도를 고려하여 계산됩니다. 이를 vₑ = −(v−v₀)로 정의합니다.

이 두 속도의 차이는 연료가 배출될 때 로켓의 이동 속도를 감안하는지 여부에 따라 달라집니다. 로켓이 이동 중일 때, 배출되는 연료의 상대 속도는 로켓의 이동 속도를 감안하여 계산되므로, 이 두 속도는 다르게 나타납니다.

결론

결론적으로, 로켓 문제에서 레이놀즈 수송 정리를 사용할 때, 제어 체적(CV)과 제어 표면(CS)의 속도가 다르게 정의되는 이유는 로켓의 이동 속도와 연료 배출 속도를 각각 감안하기 때문입니다. CV 속도는 로켓의 이동 속도를 나타내며, CS 속도는 연료 배출 속도를 나타냅니다. 또한, CS를 통한 유입/유출 속도는 로켓의 이동 속도를 고려하여 계산됩니다.

이러한 차이를 이해하면 로켓 문제에서 다양한 속도와 변수를 보다 명확하게 이해할 수 있으며, 이를 통해 더욱 정확한 해석과 계산이 가능합니다. 레이놀즈 수송 정리와 로켓 문제를 깊이 이해하기 위해서는 다양한 예제 문제를 풀어보며 숙달하는 것이 중요합니다.

질문에 대한 답변이 되길 바랍니다. 감사합니다!

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