[공학수학] 적분상수 관련 질문 (math, calculus, integration, engineering, constant, equation)

질문 요약

교수님께서는 e^(-x^2+c)라고 표현하셨는데, e^(-x^2)+e^c = e^(-x^2)+c로 풀면 안 되는지 궁금합니다. 또, y=e^(-x^2)+c 식은 초기값을 대입하면 다르게 나오는데, 틀린 식인가요? 그리고 3강 9분 40초에서 교수님께서 적분상수를 빼먹으셨다고 다시 풀어주신 부분에서 궁금한 점이 있습니다. -1/y 때문에 모두 -를 붙여줘서 +c였던 적분상수가 -c가 되어, y=e^(-x)/x+2+e^(-x)*c가 아니라 y=e^(-x)/x+2-e^(-x)*c가 되어야 하지 않나요? 적분상수 처리하는 방법이 헷갈려서 질문드립니다.

답변 요약

1. e^(-x^2+c)는 e^(-x^2) * e^c입니다. 따라서 합으로 생각하면 안 됩니다. 2. 상수 c는 +a, -a 모두 C로 표현할 수 있으므로, -를 상수 c에 포함시켜도 됩니다.

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[공학수학] 적분상수 관련 질문

안녕하세요, 오늘은 공학수학에서 자주 등장하는 적분상수에 대해 여러분께 설명드리려 합니다. 특히 질문자께서 질문해주신 e^-x²+c 표현과 적분상수의 처리 방법에 대해 자세히 다뤄보겠습니다.

먼저 질문자께서 문의하신 내용을 정리해 보겠습니다:

1. e^-x²+c는 e^-x² + e^c가 되는지 여부
2. y = e^-x² + c 식에 초기값 대입 결과와 식의 올바름
3. 적분상수를 처리하는 방법

e^-x²+c와 e^-x² + e^c의 차이

먼저, e^-x²+c와 e^-x² + e^c가 같다고 생각하는 것은 수학적으로 옳지 않습니다. 이를 이해하기 위해 지수를 분리하는 방법을 사용해 보겠습니다.

지수법칙에 따르면:

\[ e^{a+b} = e^a \cdot e^b \]

따라서 e^-x²+c는 다음과 같이 분리됩니다:

\[ e^{-x^2+c} = e^{-x^2} \cdot e^c \]

그러므로 e^-x²+c는 e^-x² + e^c가 아니라, e^-x² * e^c로 표현해야 맞습니다. 합으로 표현하게 되면 완전히 다른 의미가 되므로 주의가 필요합니다.

초기값 대입에 따른 식의 변환

이번에는 y = e^-x² + c 식이 초기값을 대입했을 때 올바른 결과를 가져오는지 살펴보겠습니다. 초기값 문제(Initial Value Problem, IVP)를 해결하기 위해서는 문제에서 주어진 특정한 조건을 만족해야 합니다.

예를 들어, 초기값이 y(0) = 1이라고 가정해 보겠습니다. 문제를 해결하는 과정은 다음과 같습니다:

1. 일반해: y = e^-x² + c
2. 초기값 대입: y(0) = e⁰ + c = 1
3. 즉, 1 = 1 + c
4. 이를 통해 c = 0이라는 결과를 얻습니다.

따라서 y = e^-x² + c 식은 초기값을 대입했을 때 올바른 결과를 가져옵니다. 그러나 초기값에 따라 상수 c의 값이 달라질 수 있으므로 초기값 대입 과정을 꼭 거쳐야 합니다.

적분상수 처리 방법

마지막으로 적분상수 처리 방법에 대해 설명드리겠습니다. 적분을 할 때 상수 C를 포함시키는 것은 매우 중요합니다. 질문자께서 언급하신 -1/y와 관련된 적분 문제를 예로 들어보겠습니다.

적분을 하다 보면 다음과 같은 형태의 적분을 만날 수 있습니다:

\[ \int -\frac{1}{y} \, dy = \int f(x) \, dx \]

여기서 적분을 수행하면 다음과 같은 결과를 얻습니다:

\[ -\ln|y| = \int f(x) \, dx + C \]

이 때, 상수 C는 적분 과정에서 반드시 포함시켜야 하는 부분입니다. 상수 C는 적분 결과에 영향을 미치기 때문에 무시해서는 안 됩니다.

질문자께서 언급하신 부분에서 -1/y 때문에 모두 -를 붙여줘서 적분상수가 -C가 되어야 한다고 하셨는데, 이는 다음과 같은 과정으로 설명할 수 있습니다:

\[ -\ln|y| = F(x) + C \]

따라서 양변에 -1를 곱하면:

\[ \ln|y| = -F(x) - C \]

즉, 적분상수는 -C로 표현할 수 있습니다. 그러나 상수는 부호만 바뀐다고 해서 전혀 다른 상수가 되는 것이 아니므로, 새로운 상수 C'로 표현할 수도 있습니다:

\[ \ln|y| = -F(x) + C' \]

여기서 C' = -C입니다. 따라서 적분상수는 부호만 바뀌더라도 여전히 상수로서의 역할을 할 수 있습니다. 중요한 것은 적분 과정에서 상수를 반드시 포함해야 한다는 점입니다.

결론

정리하자면, 적분상수는 적분 과정에서 매우 중요한 역할을 하며, 상수의 부호 변화는 새로운 상수로 표현할 수 있습니다. 또한, e^-x²+c는 e^-x² + e^c로 표현할 수 없음을 기억해야 합니다. 초기값을 대입하여 상수 값을 찾는 과정도 중요하므로 주의 깊게 다뤄야 합니다.

이 포스팅이 여러분의 이해를 돕는 데 많은 도움이 되었기를 바랍니다. 추가적인 질문이 있다면 언제든지 댓글로 남겨 주세요. 감사합니다!

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