유체역학 문제에서 cos/sin theta를 곱하지 않는 이유 (fluid dynamics, Reynolds transport theorem, velocity vector, surface normal, cos theta, sin theta)

질문 요약

안녕하세요! 제가 빨간색 친 부분에서는 왜 cos theta나 sin theta를 곱하지 않는지 궁금합니다. B상태량에서 속도로 넘어가서 coordination에 상관없는 속도 값을 사용하는 것인가요? 유튜브 면벡터 부분을 전부 봤지만 해결되지 않아서 질문드립니다. (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1TvEUd_VoErKNtuWvelJ64tOY486yigLb)

답변 요약

레이놀즈 수송 정리에서 속도는 CS를 통과하는 속도를 다룹니다. 면벡터에서 각도 등의 요소가 이미 고려되었기 때문에, V2에서는 CS에 수직하는 성분만을 고려합니다. 따라서, V2에는 cos 또는 sin을 곱하지 않으며, 이런 성분들은 면벡터 n에 반영됩니다. 면벡터에 대한 영상을 더욱 반복해서 보시는 것을 추천드립니다. https://youtu.be/AH_WxiqDG_s

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Unsplash 추천 이미지 (키워드 : fluid dynamics, Reynolds transport theorem, velocity vector, surface normal, cos theta, sin theta )

 

유체역학 문제에서 cos/sin θ를 곱하지 않는 이유

안녕하세요! 유체역학 문제를 풀다 보면 때때로 왜 특정 상황에서 cos θ나 sin θ를 곱하지 않는지 궁금할 때가 있습니다. 특히, 레이놀즈 수송 정리나 면벡터와 관련된 문제에서 이러한 질문이 자주 나오곤 합니다. 이번 블로그에서는 그러한 질문에 대해 자세히 설명드리도록 하겠습니다.

질문에서 사용된 이미지를 먼저 확인해보겠습니다:

이제 본격적으로 질문에 대한 답변을 알아보겠습니다. 질문에서 언급된 "빨간색 친 부분"에서는 왜 cos θ나 sin θ를 곱하지 않는지를 이해하기 위해 레이놀즈 수송 정리에 대해 먼저 알아보겠습니다.

레이놀즈 수송 정리

레이놀즈 수송 정리 (Reynolds Transport Theorem, RTT)는 유체역학에서 매우 중요한 정리로, 주어진 유체 시스템 내에서 물리적 양(질량, 운동량, 에너지 등)의 변화율을 계산할 때 사용됩니다. RTT는 다음과 같은 수식으로 표현됩니다:

\[ \frac{d}{dt} \int_{CV} \rho \phi \, dV + \int_{CS} \rho \phi (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n}) \, dA = \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} (\rho \phi) \, dV + \int_{CS} \rho \phi \mathbf{V} \cdot \mathbf{n} \, dA \]

여기서,

• CV: 제어체적 (Control Volume)
• CS: 제어면 (Control Surface)
• ρ: 유체의 밀도
• φ: 일반적인 물리적 양 (질량, 에너지, 운동량 등)
• V: 유체의 속도 벡터
• n: 제어면에 수직한 단위 벡터
• t: 시간

여기서 중요한 점은 제어면을 통과하는 유체의 속도 성분입니다. 제어면을 통과하는 유체의 속도는 제어면에 수직한 성분만을 고려합니다. 즉, 유체가 제어면을 통과할 때의 속도 성분은 이미 V와 n의 내적 (dot product)으로 반영됩니다.

속도 성분과 면벡터

질문에서 언급된 빨간색 친 부분에서 cos θ나 sin θ를 곱하지 않는 이유는 바로 이 점에 있습니다. 레이놀즈 수송 정리에서 속도 성분 V는 제어면을 통과하는 성분만을 고려합니다. 따라서, V와 n의 내적을 통해 이미 각도 요소가 반영된 것입니다. 이를 다시 cos θ나 sin θ로 고려할 필요는 없습니다.

즉, V2에서 제어면 CS에 수직한 성분만을 고려하게 되므로, V2에는 cos θ나 sin θ를 곱하지 않으며, 이러한 성분들은 면벡터 n에 반영됩니다.

추가 자료와 영상

면벡터와 관련된 개념을 더 잘 이해하기 위해 유튜브 영상 하나를 추천드립니다. 해당 영상에서는 면벡터의 개념을 더욱 자세히 설명하고 있으므로 반복해서 보시는 것을 추천드립니다.

결론

유체역학 문제에서 cos θ나 sin θ를 곱하지 않는 이유는 레이놀즈 수송 정리에서 속도 성분이 제어면을 통과할 때 이미 각도 요소가 반영되기 때문입니다. 면벡터 n와의 내적을 통해 이러한 성분이 고려되므로 추가로 각도 요소를 곱할 필요가 없습니다.

이 블로그가 여러분의 궁금증을 해결하는 데 도움이 되었기를 바랍니다. 추가로 궁금한 점이 있으시다면 언제든지 댓글로 남겨주세요. 감사합니다!

키워드: 유체역학, 공학과, 기계공학, 물리학, 전공과목, 레이놀즈 수송 정리, 면벡터, 각도 계산, 속도 성분, 공학 기초

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