관성 모멘트 질문 (physics,moment of inertia,mechanics,centroid,area calculation,statics,solid mechanics,structural analysis,engineering theory,moment calculation)

질문 요약

교수님께서 수업 중에 A1y1^2 + A2y2^2... = 전체넓이 × (도심 y)^2이라고 설명하셨는데, 1번 과정과 2번 과정이 다른 결과를 보이는 이유를 모르겠습니다. 1차 관성 모멘트에서는 성립하는데 2차 관성 모멘트에서는 왜 성립하지 않나요?

답변 요약

1번 식만 성립합니다. 2차 관성 모멘트에서는 거리가 제곱되므로 1차 관성 모멘트의 성질이 적용되지 않습니다. '전체 넓이'와 '전체 넓이에 대한 도심'의 곱은 '각각의 넓이'와 '각각의 넓이에 대한 도심'의 곱의 총합과 같기 때문에 1차 관성 모멘트에서만 성립합니다. 2차 관성 모멘트는 거리가 제곱되어 서로 중첩되므로 값이 크게 나옵니다. (답변에 사용된 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1Ww-i_AzVTwG7_N4sm4CtpC3YaUnCvIZ7)

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관성 모멘트란 무엇인가?

관성 모멘트는 물체의 회전 운동에 대한 저항성을 나타내는 물리량입니다. 물체의 질량 분포와 회전축에 대한 거리의 제곱의 곱으로 계산됩니다. 관성 모멘트는 1차 관성 모멘트와 2차 관성 모멘트로 나뉘며, 이 두 가지는 서로 다른 특성과 성질을 지닙니다.

1차 관성 모멘트와 2차 관성 모멘트의 정의

1차 관성 모멘트는 질량 분포와 거리의 곱으로 정의됩니다. 이는 물체의 질량 중심(도심)과 관련된 물리량입니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$ I_1 = \sum_{i} m_i \cdot y_i $$

2차 관성 모멘트는 질량 분포와 거리의 제곱의 곱으로 정의됩니다. 이는 물체의 회전 운동에 대한 저항성을 나타냅니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$ I_2 = \sum_{i} m_i \cdot y_i^2 $$

교수님의 설명: 1차 관성 모멘트

교수님께서 수업 중에 설명하신 1차 관성 모멘트는 다음과 같습니다:

$$ A_1y_1 + A_2y_2 + \cdots = \text{전체 넓이} \times (\text{도심 } y) $$

이는 물체의 전체 넓이와 도심의 곱이 각각의 넓이와 도심의 곱의 총합과 같다는 것을 의미합니다. 1차 관성 모멘트는 이와 같이 성립합니다.

교수님의 설명: 2차 관성 모멘트

교수님께서 설명하신 2차 관성 모멘트는 다음과 같습니다:

$$ A_1y_1^2 + A_2y_2^2 + \cdots \neq \text{전체 넓이} \times (\text{도심 } y)^2 $$

여기서 중요한 점은 거리가 제곱된다는 것입니다. 2차 관성 모멘트는 거리가 제곱되어 각 요소들이 중첩되므로 값이 크게 나오며, 이는 1차 관성 모멘트의 성질이 적용되지 않습니다.

왜 1차 관성 모멘트는 성립하고 2차 관성 모멘트는 성립하지 않을까?

1차 관성 모멘트는 단순히 넓이와 거리의 곱이기 때문에, 전체 넓이와 도심의 곱이 각각의 넓이와 도심의 곱의 총합과 같아집니다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$ \text{전체 넓이} \times (\text{도심 } y) = \sum_{i} A_i \cdot y_i $$

하지만 2차 관성 모멘트는 거리가 제곱되므로, 중첩 효과가 발생하여 값이 크게 나옵니다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$ \text{전체 넓이} \times (\text{도심 } y)^2 \neq \sum_{i} A_i \cdot y_i^2 $$

결론

결론적으로, 1차 관성 모멘트는 전체 넓이와 도심의 곱이 각각의 넓이와 도심의 곱의 총합과 같은 반면, 2차 관성 모멘트는 거리가 제곱되어 성질이 다릅니다. 따라서 1차 관성 모멘트에서는 성립하지만, 2차 관성 모멘트에서는 성립하지 않습니다.

이 블로그는 관성 모멘트의 기본 개념과 1차 및 2차 관성 모멘트의 차이점을 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다. 만약 더 궁금한 점이 있다면, 교수님께 직접 질문하거나 관련 교재를 참고해 보세요.

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