BODE와 Nyquist Plot 기울기 변화 이유 (1. Bode plot, 2. Nyquist plot, 3. Gain margin, 4. Frequency response, 5. Control theory, 6. Decibels, 7. Transfer function, 8. Zero-pole analysis, 9. Signal processing, 10. Automatic control)

질문 요약

1. 20강 BODE plot에서 |G(s)| 그래프의 기울기를 항상 -20dB/dec로 잡다가 마지막 예시에서 -40dB/dec으로 하는 이유가 뭔가요? 20log라서 -20dB라고 생각했는데 놓친 게 있는 것 같아 질문 드립니다. 2. 20강 s+1/0.1s+1에서 |G| 그래프가 이전 예시와 달라지는 이유는 zero가 생겼기 때문인가요? 추가로, 21강 Nyquist plot에서 G(s) = 1/s(1+s)^2 예시에서도 -20dB/dec에서 -60dB/dec로 떨어지는 이유가 뭔가요?

답변 요약

1. |G(s)| 그래프의 기울기는 해당 지점 이전에 pole과 zero가 몇 개 있는지에 따라 결정됩니다. 처음에는 pole이 하나뿐이어서 -20dB/dec였지만, s가 1보다 커지면서 작은 pole이 3개가 되어 -60dB/dec가 됩니다. 2. 맞습니다. zero가 생기면 그래프의 기울기가 달라집니다. 21강 Nyquist plot 예시에서도 마찬가지 이유로 기울기가 -60dB/dec로 바뀝니다.

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BODE와 Nyquist Plot 기울기 변화 이유

주파수 응답 분석은 제어 시스템 동역학에서 매우 중요한 도구입니다. 특히 BODE 플롯과 Nyquist 플롯은 시스템의 안정성과 성능을 분석하는 데 널리 사용됩니다. 이 블로그에서는 BODE 플롯과 Nyquist 플롯에서 기울기가 변화하는 이유에 대해 알아보겠습니다. 이를 통해 시스템의 동역학적 특성을 이해하는 데 도움을 줄 것입니다.

BODE 플롯에서 기울기 변화의 이유

BODE 플롯은 주파수 응답을 로그 스케일로 표현한 그래프입니다. 주로 두 가지 그래프로 구성됩니다: 이득(Amplitude)과 위상(Phase) 그래프입니다. 이 플롯에서 기울기는 주파수에 따른 시스템의 응답 변화를 나타냅니다.

1. 기본적인 기울기: 단순한 시스템(예: $G(s) = \frac{1}{s}$)에서는 기울기가 -20dB/dec입니다. 이는 주파수가 10배 증가할 때마다 이득이 20dB 감소하는 것을 의미합니다. 이는 $\log$ 스케일의 특성 때문입니다. 주파수 $f$에 대해 $G(s)$의 크기는 $|G(j\omega)| = \frac{1}{\omega}$이므로, $20\log|G(j\omega)| = -20\log\omega$가 됩니다.
2. 폴(pole)과 제로(zero)의 영향: 시스템에 폴이나 제로가 추가되면 기울기가 변합니다. 예를 들어, $G(s) = \frac{1}{(s+1)}$와 같은 시스템에서는 주파수가 $s=1$ 이상일 때 기울기가 -20dB/dec입니다. 이는 폴이 하나 있어서 주파수가 증가할 때마다 추가적인 -20dB/dec의 기울기를 제공합니다.
3. 여러 개의 폴과 제로: $G(s) = \frac{1}{(s+1)^2}$와 같은 시스템에서는 폴이 두 개이므로 기울기가 -40dB/dec입니다. 또한, $G(s) = \frac{s+1}{0.1s+1}$와 같은 시스템에서는 제로가 하나 추가되어 $s$가 1보다 커질 때 기울기가 변합니다. 이는 제로가 주파수 응답을 증가시키기 때문입니다.

이러한 원칙을 통해 BODE 플롯에서 기울기가 변하는 이유를 더 명확히 이해할 수 있습니다. 시스템의 각 폴과 제로는 주파수 응답에 특정한 영향을 미치며, 이를 통해 시스템의 성능을 분석할 수 있습니다.

Nyquist 플롯에서 기울기 변화의 이유

Nyquist 플롯은 주파수 응답을 복소평면에 나타낸 그래프로, 시스템의 안정성을 판단하는 데 매우 유용합니다. 이 플롯에서는 시스템의 개폐루프 응답을 주파수에 따라 플롯하며, 시스템이 안정한지 불안정한지를 확인할 수 있습니다.

1. 기본적인 Nyquist 플롯: 단순한 시스템(예: $G(s) = \frac{1}{s(1+s)^2}$)에서는 기울기가 -60dB/dec로 변합니다. 이는 시스템에 폴이 세 개가 있기 때문입니다. 각 폴은 -20dB/dec의 기울기를 추가로 제공합니다.
2. 복잡한 시스템: 복잡한 시스템에서는 더 많은 폴과 제로가 추가되어 기울기가 다양하게 변할 수 있습니다. 예를 들어, $G(s) = \frac{(s+1)}{s(1+s)^2}$와 같은 시스템에서는 제로가 추가되어 주파수 응답이 달라집니다. 이 경우,Nyquist 플롯에서의 기울기 변화는 BODE 플롯에서와 마찬가지로 폴과 제로의 개수에 따라 결정됩니다.

Nyquist 플롯에서는 시스템의 안정성을 판단하기 위해 Nyquist 기준을 사용합니다. 이는 폐루프 시스템이 안정하려면 Nyquist 플롯이 $-1+j0$ 점을 감싸지 않거나, 감싸더라도 특정 조건을 만족해야 한다는 기준입니다. 이에 따라 기울기 변화는 시스템의 안정성에 큰 영향을 미칠 수 있습니다.

결론

주파수 응답 분석에서 BODE 플롯과 Nyquist 플롯의 기울기 변화는 시스템의 폴과 제로의 개수에 크게 의존합니다. 각 폴과 제로는 주파수 응답에 특정한 변화를 일으키며, 이를 통해 시스템의 성능과 안정성을 분석할 수 있습니다. 이 블로그를 통해 주파수 응답 분석의 기본 개념을 이해하고, 실제 시스템에 적용하는 데 도움이 되길 바랍니다.

• BODE 플롯과 Nyquist 플롯의 기울기 변화는 폴과 제로의 개수에 따라 결정됩니다.
• 기본적으로 단순한 시스템은 -20dB/dec의 기울기를 가지지만, 폴과 제로가 추가되면 기울기가 변화합니다.
• Nyquist 플롯에서는 시스템의 안정성을 판단하기 위해 Nyquist 기준을 사용합니다.

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