자동제어 강의 15강 38분 33초의 2개의 중근 설명 (control theory, root locus, poles and zeros, system dynamics, multiple roots, complex plane)

질문 요약

별도의 설명 없이 2개의 중근이라 하셔서 왜 2개인지가 이해가 되지 않습니다.

답변 요약

Root locus 그림은 K 값에 따라 시스템 특성방정식의 근들을 모두 나타낸 것입니다. 그림에서 각 pole에서 시작해 zero에서 끝나는 선들이 각각 하나의 근을 나타냅니다. 38분 33초에 언급된 2개의 중근은 두 pole에서 시작한 선들이 한 점에서 만나서 '두' 개의 중근이라고 설명한 것입니다. 만약 세 pole에서 시작한 선들이 한 점에서 만났다면, 그 점에서 3개의 중근이 생겼다고 할 수 있습니다.

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자동제어 강의 15강 38분 33초의 2개의 중근 설명

이번 포스트에서는 자동제어 강의 15강 38분 33초에 나온 2개의 중근에 대해 상세히 설명하겠습니다. 많은 분들이 중근의 개념과 루트 로커스(Root Locus)에 대해 궁금해하실 텐데요, 이 글을 통해 그 궁금증을 해소해 드리겠습니다.

루트 로커스(Root Locus)란?

루트 로커스는 폐루프 시스템의 특성방정식의 근들이 변화하는 궤적을 그린 것입니다. 이 궤적은 제어 시스템의 극점(pole)과 영점(zero)의 위치와 시스템 이득 \(K\) 값에 따라 결정됩니다. 루트 로커스는 시스템의 안정성을 분석하고 설계하는 데 중요한 도구로 사용됩니다.

특성방정식과 시스템 근

특성방정식은 폐루프 시스템의 극점을 결정하는 방정식입니다. 예를 들어, 특성방정식이 다음과 같다고 할 때:

\[ 1 + K \cdot G(s)H(s) = 0 \]

여기서 \(G(s)\)와 \(H(s)\)는 각각 개방루프 전달함수와 피드백 전달함수를 나타냅니다. 이 방정식의 근들, 즉 \(s\) 값들이 시스템의 극점(pole)이 됩니다. 루트 로커스는 이 극점들이 \(K\) 값에 따라 어떻게 변화하는지를 보여줍니다.

중근의 개념

중근이란 특성방정식의 근이 중복되는 경우를 말합니다. 예를 들어, 특성방정식의 근이 두 개의 중근을 가지는 경우는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

\[ (s - s_0)^2 = 0 \]

이 경우, \(s = s_0\)가 두 번 중복되어 나타나는 중근입니다. 루트 로커스 그림에서 중근은 두 개의 극점 선들이 한 점에서 만나는 지점으로 확인할 수 있습니다.

2개의 중근 설명

38분 33초에 언급된 2개의 중근은 루트 로커스 그림에서 두 개의 극점 선들이 한 점에서 만나는 것을 의미합니다. 이 현상은 다음과 같이 설명될 수 있습니다:

1. 루트 로커스 그림에서 각 극점에서 시작해 영점에서 끝나는 선들이 있습니다.
2. 극점 선들이 한 점에서 만나는 경우, 그 점에서 중복된 근이 발생합니다.
3. 38분 33초에 언급된 두 개의 중근은 두 개의 극점 선들이 한 점에서 만나서 발생한 것입니다.

이는 시스템의 특성방정식이 다음과 같은 형태를 가지는 경우입니다:

\[ (s - s_0)^2 = 0 \]

이 경우, \(s = s_0\)에서 두 개의 중근이 발생합니다. 만약 세 개의 극점 선들이 한 점에서 만난다면, 그 점에서는 세 개의 중근이 발생합니다.

예제를 통한 이해

더 나은 이해를 위해 예제를 통해 보겠습니다. 예를 들어, 다음과 같은 특성방정식을 고려해 보겠습니다:

\[ 1 + K \left( \frac{1}{s(s+2)} \right) = 0 \]

루트 로커스 그림에서 두 개의 극점 선들이 한 점에서 만나는 지점을 확인할 수 있습니다. 이 지점에서 두 개의 중근이 발생합니다.

결론

이번 포스트에서는 자동제어 강의 15강 38분 33초에 나온 2개의 중근에 대해 설명하였습니다. 루트 로커스 그림을 통해 시스템의 극점 선들이 한 점에서 만나 중근이 발생하는 과정을 이해할 수 있었습니다. 중근의 개념과 루트 로커스의 시각화를 통해 더욱 명확한 이해가 되었길 바랍니다.

추가적인 질문이나 궁금한 사항이 있으면 언제든지 댓글로 남겨주세요. 감사합니다.

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