[공학수학] 라플라스 변환 유도 (e^at) (Laplace transform, exponential function, mathematical proof, engineering mathematics, integrals, differential equations)

질문 요약

교수님, 라플라스 변환 강의에서 e^at의 라플라스 변환 유도를 설명해주셨는데, 왜 1/(a-s) * e^{-(s-a)t}에서 s가 a보다 작을 때도 1/(s-a)로 귀결되는지 이해되지 않습니다. 제가 놓친 부분이 무엇인가요? (질문 시 사용한 이미지: https://drive.google.com/uc?id=1V_hRdQHSyE95r1vTdl3q0DrqyYO6YpA6)

답변 요약

좋은 질문입니다. e^(at)의 라플라스 변환은 s > a일 때만 유효합니다. e^(at)의 라플라스 변환 과정은 다음과 같습니다: L[e^(at)] = ∫[0 → ∞] e^(at) * e^(-st) dt = ∫[0 → ∞] e^(-(s-a)t) dt = [-1/(s-a) * e^(-(s-a)t)] [0 → ∞] = [-1/(s-a) * 0] - [-1/(s-a) * 1] = 0 + 1/(s-a) = 1/(s-a) (단, s > a) 여기서 중요한 것은 s > a라는 가정입니다. 이 경우에만 e^(-(s-a)t)가 t가 무한대로 갈 때 0으로 수렴합니다. s ≤ a일 경우에는 e^(-(s-a)t)가 발산하여 라플라스 변환이 유효하지 않습니다. 따라서 e^(at)의 라플라스 변환은 s의 실수부가 a보다 큰 영역에서만 정의됩니다. 라플라스 변환은 함수가 수렴하는 영역인 ROC를 고려해야 하며, 이 영역에서만 변환값이 유효합니다. 참고로, 라플라스 변환 값이 수렴하려면 적분이 유한한 값을 가져야 하는데, 이는 s > a일 때 피적분함수가 수렴함을 의미합니다. f(t)의 라플라스 변환은 다음과 같이 정의됩니다: F(s) = ∫(0 to ∞) f(t) e^(-st) dt 수렴 영역은 이 적분이 수렴하는 s의 값들의 집합입니다. 함수 f(t)가 절대 적분 가능하고, t가 증가함에 따라 지수함수보다 빠르게 감소하면 라플라스 변환이 존재합니다.

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[공학수학] 라플라스 변환 유도 (e^at)

라플라스 변환은 공학 및 물리학에서 널리 사용되는 중요한 도구입니다. 주로 미분 방정식의 해를 구하거나, 시스템의 동작을 분석할 때 사용됩니다. 이번 포스트에서는 e^at의 라플라스 변환을 유도하고, 이 과정에서 왜 s가 a보다 작을 때도 1/(s-a)로 수렴하는지에 대해 다루겠습니다.

먼저, 라플라스 변환의 정의를 복습해 봅시다. 주어진 함수 f(t)에 대해 라플라스 변환 F(s)는 다음과 같이 정의됩니다:

\[ F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt \]

여기서 s는 복소수 변수입니다. 이제, f(t) = e^at인 경우를 생각해 봅시다. 이 함수의 라플라스 변환을 구하는 과정은 다음과 같습니다:

1. 먼저 정의에 따라 적분을 설정합니다:

   \[ L[e^{at}] = \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st} \, dt \]

2. 지수 함수의 합성 규칙을 적용하여 단순화합니다:

   \[ = \int_{0}^{\infty} e^{(a-s)t} \, dt \]

3. 적분의 결과를 구하기 위해 변수를 바꿉니다. 여기서 중요한 점은 a - s가 음수일 경우 적분이 수렴하지 않는다는 점입니다. 따라서 s > a라는 가정이 필요합니다. 이 가정하에, 적분을 계산합니다:

   \[ = \left[ \frac{e^{(a-s)t}}{a-s} \right]_{0}^{\infty} \]

4. 적분의 한계값을 평가합니다. s > a일 경우, t가 무한대로 갈 때 e^(a-s)t가 0으로 수렴합니다:

   \[ = \left( \frac{0}{a-s} \right) - \left( \frac{1}{a-s} \right) \]

5. 최종적으로, 라플라스 변환 결과를 얻습니다:

   \[ = -\left( \frac{1}{a-s} \right) \]
   \[ = \frac{1}{s-a} \]

따라서, e^at의 라플라스 변환은 s > a일 때 \(\frac{1}{s-a}\)로 주어집니다. 여기서 중요한 것은 s > a라는 가정이 반드시 필요하다는 점입니다. 그렇지 않으면 적분이 수렴하지 않으며, 라플라스 변환이 유효하지 않습니다.

이제 질문에서 제기된 부분을 다시 한 번 살펴보겠습니다. "왜 1/(a-s) * e^-(s-a)t에서 s가 a보다 작을 때도 1/(s-a)로 귀결되는가?" 라는 질문은 기본적으로 수렴 조건을 이해하는 데서 시작합니다. s가 a보다 작을 때, 즉 s ≤ a일 경우 e^-(s-a)t는 발산합니다. 발산하는 경우, 적분이 무한대로 발산하므로 라플라스 변환이 존재하지 않습니다.

따라서, e^at의 라플라스 변환은 s의 실수부가 a보다 큰 영역에서만 정의됩니다. 라플라스 변환은 함수가 수렴하는 영역인 ROC(Region of Convergence)를 고려해야 하며, 이 영역에서만 변환값이 유효합니다. 이는 다음과 같은 수학적 정의를 통해 검증할 수 있습니다:

\[ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{at} e^{-st} \, dt \]

수렴 영역은 이 적분이 수렴하는 s의 값들의 집합입니다. 함수 f(t)가 절대 적분 가능하고, t가 증가함에 따라 지수함수보다 빠르게 감소하면 라플라스 변환이 존재합니다.

위 이미지는 e^at의 라플라스 변환 과정과 수렴 조건을 시각적으로 설명합니다. 이를 통해, s > a일 때만 라플라스 변환이 유효하며, s ≤ a일 경우 변환이 존재하지 않는다는 점을 알 수 있습니다.

이상으로 e^at의 라플라스 변환 유도 및 관련 수렴 조건에 대해 알아보았습니다. 이번 포스트가 라플라스 변환 이해에 도움이 되길 바랍니다.

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