적분값이 0이 되는 이유 관련 질문 (physics, dynamics, integral, force, vector, motion, displacement, perpendicular, calculation, explanation)

질문 요약

첨부파일에서 calculation부분에서 보면 [인테그랄(A-B)Ndr] = 공의 path 방향과 N(수직항력) 방향이 수직이 되서 적분값이 0이 나온다고 하셨는데 이 부분이 이해가 안가서 질문드립니다. 수직하는 것과 적분값이 0이 되는 것은 무슨 상관이 있는 거에요? (질문 시 사용한 이미지 : https://lh3.googleusercontent.com/d/1ZOUjT-9cPR2q-D3RGNd436jTjTOUxuu7)

답변 요약

제가 좀 간단하게 표현을 하다 보니 오해가 있었던 것 같습니다. 일이란 개념은 힘 벡터와 변위 벡터의 내적인데, 수직하게 되면 cos값이 0이 되면서 적분값이 사라지게 됩니다.

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적분값이 0이 되는 이유 관련 질문

질문 : 첨부파일에서 calculation부분에서 보면 [인테그랄(A-B)Ndr] = 공의 path 방향과 N(수직항력) 방향이 수직이 되서 적분값이 0이 나온다고 하셨는데 이 부분이 이해가 안가서 질문드립니다. 수직하는 것과 적분값이 0이 되는 것은 무슨 상관이 있는 거에요?

답변 : 제가 좀 간단하게 표현을 하다 보니 오해가 있었던 것 같습니다. 일이란 개념은 힘 벡터와 변위 벡터의 내적인데, 수직하게 되면 cos값이 0이 되면서 적분값이 사라지게 됩니다.

적분값이 0이 되는 이유

적분값이 0이 되는 이유를 이해하려면, 먼저 힘과 변위의 관계를 이해해야 합니다. 물리학에서는 일이란 개념이 중요하며, 이는 힘과 변위의 내적으로 정의됩니다. 간단히 말해, 일이란 힘이 물체를 이동시킬 때 발생하는 에너지를 의미합니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다:

• 일(W) = 힘(F) · 변위(d) = Fd cosθ

여기서 θ는 힘 벡터와 변위 벡터 사이의 각도입니다.

힘과 변위의 내적

위 수식을 보면, 힘과 변위 벡터의 내적은 각도 θ에 따라 달라집니다. θ가 0도일 때는 cosθ가 1이 되어 최대값을 가지며, θ가 90도일 때는 cosθ가 0이 되어 내적값이 0이 됩니다. 이를 통해 알 수 있는 점은, 힘과 변위가 수직일 때는 일이 발생하지 않는다는 것입니다.

적분의 의미

적분은 일반적으로 변화량의 누적 합을 의미합니다. 물리학에서 적분은 힘과 변위의 관계를 통해 일을 계산하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 힘이 일정하지 않은 경우 적분을 통해 총 일을 구할 수 있습니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다:

• \(\int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

여기서 \(\mathbf{F}\)는 힘 벡터, \(d\mathbf{r}\)는 변위 벡터, A와 B는 적분 구간의 시작점과 끝점입니다.

수직일 때 적분값이 0이 되는 이유

질문에서 언급된 수직항력(N)과 공의 경로가 수직인 경우를 생각해 봅시다. 수직항력은 항상 공의 표면에 수직 방향으로 작용합니다. 이때 공의 경로는 수평 방향일 것입니다. 따라서 힘 벡터와 변위 벡터가 서로 수직이 됩니다.

다시 한번 내적의 개념을 돌아보면, 힘 벡터와 변위 벡터가 수직일 때 각도 θ는 90도입니다. 이 경우 cosθ는 0이므로, 내적값도 0이 됩니다. 따라서 적분값도 0이 됩니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다:

• \(\int_{A}^{B} \mathbf{N} \cdot d\mathbf{r} = \int_{A}^{B} N dr \cos 90^\circ = 0\)

따라서 수직항력과 공의 경로가 수직일 때 적분값이 0이 되는 이유는 힘과 변위 벡터의 내적이 0이 되기 때문입니다.

결론

적분값이 0이 되는 이유를 이해하기 위해서는 힘 벡터와 변위 벡터의 내적 개념을 이해해야 합니다. 힘과 변위가 수직일 때 내적값은 0이 되며, 따라서 적분값도 0이 됩니다. 이를 통해 수직항력과 공의 경로가 수직일 때 적분값이 0이 된다는 것을 이해할 수 있습니다.

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