[일반물리학] 외적과 내적 설명 질문입니다. (vector, physics, cross product, dot product, right hand rule, vector calculation)

질문 요약

제 1강 벡터의 계산 파트에서 외적과 내적을 설명하셨는데, 내적은 이해했습니다. 그런데 외적은 방향을 정할 때 오른손을 사용해서 r벡터를 휘감아 s벡터를 쥐면 된다고 하셨는데, 잘 이해가 안됩니다. 다른 쉬운 방법은 없나요?

답변 요약

안타깝지만 다른 방법은 없습니다. 외적 방향을 정하는 것은 하나의 약속입니다. 고등학교 때 배우던 오른손 법칙을 수식으로 나타낸 것입니다. 예를 들어, 실험에서 자기장이 앞쪽으로 가고, 자석을 아래로 떨어뜨리면 전류가 오른쪽으로 흐르는 현상을 수식으로 설명한 것이 외적입니다. 전기장이나 토크의 계산에서도 필요하니, 오른손으로 벡터를 휘감는 연습을 해두는 것이 좋습니다. 아래 동영상을 보면서 감을 잡아보세요: https://youtu.be/9mis_WA-Sy4

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[일반물리학] 외적과 내적 설명 질문입니다.

강의에서 벡터의 계산 파트 중 내적과 외적에 대해 설명을 들었다고 하셨네요. 내적은 이해하셨지만 외적의 방향을 정하는 오른손 법칙이 이해가 어렵다고 하셨습니다. 외적(Direction of Cross Product)에 대해 좀 더 자세히 설명드리겠습니다.

1. 벡터의 외적 (Cross Product)

벡터의 외적은 두 벡터 사이의 각도와 두 벡터의 크기를 사용하여 세 번째 벡터를 생성하는 연산입니다. 외적의 결과로 나오는 벡터는 두 원래 벡터와 수직인 벡터입니다.

외적을 구할 때 가장 중요한 부분은 방향입니다. 이 방향을 정하기 위해 오른손 법칙을 사용합니다.

2. 오른손 법칙 (Right-Hand Rule)

오른손 법칙은 외적의 방향을 결정하는 데 사용되는 방법입니다. 이를 설명하기 위해 두 벡터 \(\mathbf{A}\)와 \(\mathbf{B}\)가 있다고 가정해 보겠습니다.

1. 오른손을 사용하여 \(\mathbf{A}\) 벡터에서 \(\mathbf{B}\) 벡터 방향으로 감십시오.
2. 엄지손가락을 펴서 나머지 손가락이 \(\mathbf{A}\)에서 \(\mathbf{B}\)로 감싸도록 하십시오.
3. 이때 엄지손가락이 가리키는 방향이 두 벡터의 외적 결과 벡터의 방향입니다.

수학적으로는 외적의 결과 벡터 \(\mathbf{C}\)는 다음과 같이 표현됩니다: \[ \mathbf{C} = \mathbf{A} \times \mathbf{B} \] 여기서 \(\mathbf{C}\)는 \(\mathbf{A}\)와 \(\mathbf{B}\)에 모두 수직인 벡터입니다.

3. 예제

예제를 통해 오른손 법칙을 이해해 보겠습니다. 두 벡터 \(\mathbf{A}\)와 \(\mathbf{B}\)가 각각 다음과 같다고 가정해 보겠습니다:

• \(\mathbf{A} = i + 2j + 3k\)
• \(\mathbf{B} = 4i + 5j + 6k\)

외적을 계산해보면: \[ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{vmatrix} \] 이를 전개하면: \[ \mathbf{C} = \mathbf{i}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) - \mathbf{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) \] \[ \mathbf{C} = \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(-3) \] \[ \mathbf{C} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] 따라서, 외적의 결과 벡터는 \(-3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}\)입니다. 이 벡터는 \(\mathbf{A}\)와 \(\mathbf{B}\)에 수직입니다.

4. 외적의 실제 응용

외적은 물리학에서 매우 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 자기장과 전류가 서로 만나 전자기력을 형성하는 경우 외적을 사용합니다. 오른손 법칙을 사용하면 자기장 벡터와 전류 벡터의 외적을 통해 전자기력의 방향을 쉽게 결정할 수 있습니다.

또한, 토크 (Torque) 계산에서도 외적이 사용됩니다. 회전하는 물체에 작용하는 힘의 방향과 회전축의 방향을 외적으로 계산하면 회전 효과를 정확히 예측할 수 있습니다.

5. 결론

외적의 방향을 결정하는 오른손 법칙은 수학적 계산뿐만 아니라 물리학에서 매우 중요합니다. 이를 이해하고 연습하는 것이 필요합니다. 오른손 법칙을 사용하여 두 벡터의 외적을 구하는 연습을 계속 해보세요.

추가적으로, 아래 동영상을 통해 시각적으로 이해해 보세요: 외적 설명 동영상

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