[진동학] 진동학 질문있습니다 (vibration, engineering, mathematics, differential equations, damping, cosine functions, physics, non-homogeneous solutions, mechanical vibrations, sinusoidal functions)

질문 요약

첫 번째로, 식을 어떻게 두 개로 나눌 수 있나요? cosWbt로 나누면 ()+()sinWbt/cosWbt=foc 이렇게 나올 텐데, 교수님처럼 단순히 두 개로 나눌 수 있는 이유가 궁금합니다. 두 번째로, F시그마가 F(t)라고 말씀하시고 부호만 바꾼 거라고 하셨는데, 댐퍼 관련 부호는 바뀌지 않아 헷갈립니다. 왜 식이 저렇게 바뀌었는지 잘 모르겠습니다. (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1OZLV9V4tAqq46uTwe9uiVvy5bTYyk1wn, https://lh3.googleusercontent.com/d/1fthmU8sdYt82rkpozVNJcZUyZpWfGEF3)

답변 요약

[첫 번째 질문에 대한 답변] 미분 방정식을 풀 때 비제차(non-homogeneous) 방정식의 해를 구하는 방식입니다. 비제차 방정식에서는 cos과 sin이 있는 경우 각각의 항에 특수해를 구해 더해줍니다. 공학수학 교재를 복습해보시면 도움이 될 것입니다. [두 번째 질문에 대한 답변] k항 앞에도 -가 붙어야 합니다. 실수로 표기가 안 된 것 같습니다. 관성력은 물체가 가속도를 가지면서 만드는 힘과 크기는 같지만 방향은 반대입니다. 그래서 가속도에 의한 힘에 -가 붙어서 Force Transmissibility를 구한 것입니다. 강의에서 자연스럽게 설명하려다 보니 표기 실수가 생긴 것 같습니다. 이해가 어려우셨을 텐데 죄송합니다. 앞으로 주의하겠습니다.

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진동학: 미분 방정식과 Force Transmissibility

진동학은 기계 시스템에서 발생하는 진동 현상을 분석하는 학문입니다. 이는 다양한 공학 분야에서 중요한 역할을 합니다. 이번 포스트에서는 진동학과 관련된 두 가지 질문에 대해 답변하고자 합니다. 첫 번째 질문은 미분 방정식에서 두 개의 식을 나누는 방법에 대한 것이고, 두 번째 질문은 Force Transmissibility에 대한 것입니다.

질문의 이해을 위해 이미지를 참고 부탁드립니다:

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첫 번째 질문: 미분 방정식에서 두 개의 식으로 나누기

질문에서 주어진 내용은 다음과 같습니다: "식을 어떻게 두 개로 나눌 수 있나요? cosWbt로 나누면 ()+()sinWbt/cosWbt=foc 이렇게 나올 텐데, 교수님처럼 단순히 두 개로 나눌 수 있는 이유가 궁금합니다."

미분 방정식을 풀 때 비제차(non-homogeneous) 방정식의 해는 다음과 같은 형식을 가집니다:

1. 일반해(General Solution)
2. 특수해(Particular Solution)

비제차 방정식은 다음과 같은 형태를 가질 수 있습니다:

$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) $$

여기서, \( m \)은 질량, \( c \)는 댐핑 계수, \( k \)는 강성 계수, \( F(t) \)는 외력입니다. 외력이 \( F(t) = F_0 \cos(\omega t) \)와 같은 형태라면, 우리는 특수해를 구하기 위해 다음과 같은 형태의 해를 가정합니다:

$$ x_p(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) $$

미분 방정식을 위의 \( x_p(t) \)에 대입하여 각 항목별로 비교하면 됩니다. 이렇게 하면 미분 방정식을 두 개의 식으로 나눌 수 있습니다. 이는 공학수학 교재에서 비제차 미분 방정식을 풀 때 자주 사용하는 방법입니다.

두 번째 질문: Force Transmissibility와 부호

두 번째 질문은 다음과 같습니다: "F시그마가 F(t)라고 말씀하시고 부호만 바꾼 거라고 하셨는데, 댐퍼 관련 부호는 바뀌지 않아 헷갈립니다. 왜 식이 저렇게 바뀌었는지 잘 모르겠습니다." 이 질문에 대한 답변입니다.

Force Transmissibility는 시스템이 외부에서 받은 힘이 내부 요소들에 어떻게 전달되는지를 나타내는 지표입니다. 이는 다음과 같은 식으로 표현될 수 있습니다:

$$ T = \frac{F_{out}}{F_{in}} $$

여기서 \( F_{out} \)은 전달된 힘, \( F_{in} \)은 입력된 힘입니다. 질문에서 언급한 '부호'는 주로 관성력과 관련이 있습니다. 관성력은 물체가 가속도를 가지면서 만드는 힘과 크기는 같지만 방향은 반대입니다. 따라서 가속도에 의한 힘에 -가 붙습니다.

질문에서 언급된 식을 다시 살펴보겠습니다:

$$ m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) $$

여기서, \( F(t) \)는 외력이고, 관성력은 \( m\ddot{x} \)입니다. 가속도에 의한 힘에 -가 붙어서 Force Transmissibility를 구한 것입니다. 따라서 식의 부호가 바뀌는 이유는 물리적 특성에 기인한 것입니다.

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