질문 요약
1. 강의 15분쯤에 입력함수를 u(t)=1(t)라고 했는데, 입력이 항상 1이라는 뜻인가요? 왜 u(t)=1이 아니라 함수 형태로 쓰나요? 라플라스 역변환할 때 항상 1(t)를 곱해야 하나요? 2. 강의 17번에서 H(s)Y(s)를 분해할 때 C2/(s+2)^2로 분해하셨는데, 왜 분모가 2차식인데 분자는 일차식 c2s+c3가 아니라 상수로 두나요? 분모가 완전제곱식이면 분자를 상수로 둬도 되나요? 3. 라플라스 변환에서 제타는 감쇠 계수인 걸 이해했습니다. wn과 wd는 무엇이고 어떤 의미인가요?
답변 요약
1. 1(t)는 t>0에서는 1, t<0에서는 0인 함수로, step function입니다. 해당 강의에서는 t>0에서만 함수가 존재하는 causal system을 다루기 때문에 라플라스 역변환 시 1(t)를 곱해주는 것이 맞습니다. 2. 맞습니다. c1/(s+2) 항이 c2s 부분을 대체하기 때문에 상수로 둘 수 있습니다. 이 방법은 공학수학에서 라플라스 역변환을 다룰 때 사용하는 부분분수법으로, 공학수학 강의를 참조해 보세요. 3. wn은 시스템의 고유진동수(natural frequency), wd는 감쇠된 고유진동수(damped natural frequency)를 의미합니다. { wd = wn * sqrt(1-zeta^2) } 식으로 나타냅니다.
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자동제어 6강에 대한 질문과 답변
이번 포스팅에서는 자동제어 6강에 대한 몇 가지 질문과 답변을 다뤄보도록 하겠습니다. 주제는 주로 라플라스 변환과 관련된 내용들입니다. 자동제어 강의를 듣다가 헷갈릴 수 있는 부분들에 대해 자세히 설명해 드리겠습니다.
질문 1: 입력함수 u(t)=1(t)라고 했는데, 입력이 항상 1이라는 뜻인가요? 왜 u(t)=1이 아니라 함수 형태로 쓰나요? 라플라스 역변환할 때 항상 1(t)를 곱해야 하나요?
답변: 1(t)는 t > 0에서는 1, t < 0에서는 0인 함수로, 이는 스텝 함수(step function)입니다. 해당 강의에서는 t > 0에서만 함수가 존재하는 인과적 시스템(causal system)을 다루기 때문에 라플라스 역변환 시 1(t)를 곱해주는 것이 맞습니다.
스텝 함수는 시스템의 입력으로 자주 사용되며, 특히 시뮬레이션이나 분석에서 매우 유용합니다. 라플라스 변환에서 스텝 함수를 사용하는 이유는 다음과 같이 설명할 수 있습니다:
- 스텝 함수는 시스템의 응답을 분석할 때 초기 조건을 쉽게 설정해줍니다.
- 라플라스 변환을 이용하면 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환할 수 있어 해석이 용이해집니다.
- 인과적 시스템을 다루기 위해 스텝 함수를 사용하면 t > 0에서의 시스템 응답만 고려할 수 있습니다.
라플라스 변환의 기본적인 성질 중 하나는 시간 영역에서의 곱셈이 주파수 영역에서는 컨볼루션으로 변환된다는 것입니다. 따라서, 인과적 시스템을 처리할 때는 라플라스 역변환 후에도 1(t)를 곱해주는 것이 필요합니다.
질문 2: H(s)Y(s)를 분해할 때 C2/(s+2)^2로 분해하셨는데, 왜 분모가 2차식인데 분자는 일차식 c2s+c3가 아니라 상수로 두나요? 분모가 완전제곱식이면 분자를 상수로 둬도 되나요?
답변: 맞습니다. 분모가 2차식일 경우, 분자를 일차식으로 두는 것이 일반적입니다. 하지만, 특정한 경우에는 상수로 두어도 문제가 없습니다. 이는 부분분수법을 이용한 라플라스 역변환에서 중요한 역할을 합니다.
이를 통해 공학수학에서 자주 사용되는 라플라스 변환의 역변환을 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 표현이 있을 때:
\[ \frac{C_2}{(s+2)^2} \]
위의 형태로 분해하는 이유는 \( \frac{C_2}{(s+2)^2} \) 항이 \( \frac{C_2s}{(s+2)} \) 항을 대체할 수 있기 때문입니다. 이 방법은 공학수학에서 라플라스 역변환을 다룰 때 사용하는 부분분수법으로, 공학수학 강의를 참조해 보세요.
질문 3: 라플라스 변환에서 제타는 감쇠 계수인 걸 이해했습니다. wn과 wd는 무엇이고 어떤 의미인가요?
답변: \( \omega_n \)은 시스템의 고유진동수(natural frequency)를 의미하며, \( \omega_d \)는 감쇠된 고유진동수(damped natural frequency)를 의미합니다. 이 둘은 다음과 같은 관계식을 가집니다:
\[ \omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2} \]
여기서 \( \zeta \)는 감쇠 계수(damping ratio)입니다. 이는 시스템의 응답이 얼마나 빨리 감쇠하는지를 나타냅니다. 고유진동수 \( \omega_n \)는 시스템의 기본적인 진동 주파수를 나타내며, 감쇠된 고유진동수 \( \omega_d \)는 감쇠가 있는 상태에서의 진동 주파수를 나타냅니다.
이러한 개념들은 시스템의 동작을 분석하고 설계할 때 매우 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 시스템의 안정성을 평가하거나, 제어 시스템을 설계할 때 이들 값을 이용해 설계 매개변수를 조정할 수 있습니다.
결론
이번 포스팅에서는 자동제어 강의에서 자주 헷갈릴 수 있는 라플라스 변환 관련 질문들에 대해 답변해 보았습니다. 스텝 함수, 부분분수법, 고유진동수와 감쇠된 고유진동수에 대해 이해하는 것은 자동제어를 공부하는 데 매우 중요합니다. 이 내용을 잘 이해하고 응용할 수 있길 바랍니다.
다음 포스팅에서는 더욱 심화된 주제들에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 질문이 있으시면 언제든지 댓글로 남겨주세요!
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