[자동제어] 5강 선형시스템과 라플라스 변환 질문입니다. (linear systems, Laplace transform, dirac delta, convolution, discrete function, mathematical integration)

질문 요약

강의 25분 40초에 Convolution 설명 중, 임의의 함수를 dirac delta function에 상수를 곱한 합으로 표현 가능하다고 하셨는데요. dirac delta function은 그 지점에서 무한대의 값을 가지지 않나요? 어떻게 상수를 곱해서 함수를 표현할 수 있는지 궁금합니다.

답변 요약

dirac delta function은 그 지점에서 무한대의 값과 넓이 1을 가지는 함수입니다. 수학적 엄밀성 없이 직관적으로 사용하는 내용이므로 대학원 수준의 해석학을 필요로 합니다. 디렉 델타 함수는 실제로 함수가 아니라 분포 형태이며 적분 연산에서만 정의됩니다. 고등학생 때 배운 구분구적법이나 함수의 이산화 과정을 떠올리면 도움이 될 것입니다.

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[자동제어] 5강 선형시스템과 라플라스 변환 질문입니다.

강의 25분 40초에 Convolution 설명 중, 임의의 함수를 dirac delta function에 상수를 곱한 합으로 표현 가능하다고 하셨는데요. dirac delta function은 그 지점에서 무한대의 값을 가지지 않나요? 어떻게 상수를 곱해서 함수를 표현할 수 있는지 궁금합니다.

답변

Dirac delta function(디렉 델타 함수)은 그 지점에서 무한대의 값을 가지며, 넓이가 1인 특이한 함수입니다. 이 함수는 수학적으로 정확하게 설명하기 위해서는 해석학의 개념이 필요합니다. 우선, dirac delta function의 성질을 직관적으로 이해하고, 이와 관련된 개념들을 설명해 보겠습니다.

Dirac Delta Function의 성질

Dirac delta function은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다:

• \(\delta(t) = 0 \quad (t \neq 0)\)
• \(\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1\)

이 함수는 특정 지점에서 무한대의 값을 가지며, 그 넓이는 1로 정의됩니다. 이를 통해 우리는 임의의 함수 \( f(t) \)를 Dirac delta function을 사용하여 표현할 수 있습니다.

함수의 표현

임의의 함수 \( f(t) \)를 dirac delta function을 사용하여 표현하는 방법은 다음과 같습니다:

\[ f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) \, d\tau \]

이 식은 임의의 함수 \( f(t) \)를 Dirac delta function의 무한한 합으로 표현하는 방법을 보여줍니다. 이 표현은 함수 \( f(t) \)를 \( \tau \)라는 변수에 대한 함수로 생각하고, 이를 Dirac delta function과의 컨볼루션을 통해 다시 \( t \)로 변환하는 과정입니다.

컨볼루션(Convolution) 연산

컨볼루션은 두 함수 \( f(t) \)와 \( g(t) \)의 결합을 나타내는 연산으로, 다음과 같이 정의됩니다:

\[ (f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau \]

특히, Dirac delta function과의 컨볼루션은 매우 단순해집니다. \( g(t) = \delta(t) \)일 때, 컨볼루션은 \( f(t) \) 자체로 돌아옵니다:

\[ (f * \delta)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t - \tau) \, d\tau = f(t) \]

이는 Dirac delta function이 '단위 임펄스' 역할을 하여, 임의의 함수 \( f(t) \)를 그대로 유지시키는 역할을 합니다.

구분구적법과 함수의 이산화

고등학교 시절에 배운 구분구적법을 떠올리면 Dirac delta function을 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 구분구적법은 적분을 여러 구간으로 나누어 각 구간의 넓이를 합하는 방법입니다. 이를 테면, 함수 \( f(t) \)를 여러 작은 구간으로 나누어 표현할 수 있습니다:

\[ \sum_{i} f(t_i) \Delta t \]

이 때, \(\Delta t\)는 아주 작은 시간 간격으로, \( t_i \)는 각 시간 간격의 중심점입니다. 이와 유사하게, Dirac delta function을 사용하면 함수의 각 점을 무한히 작은 간격으로 나누고, 이를 합하여 원래의 함수를 복원할 수 있습니다.

이러한 과정은 해석학에서 '분포'라는 개념을 통해 더욱 엄밀하게 정의됩니다. Dirac delta function은 실제로 함수가 아니며, 분포로서 정의되며, 적분 연산을 통해서만 의미를 가집니다. 이를 통해 Dirac delta function과의 컨볼루션을 통해 임의의 함수를 표현할 수 있는 것입니다.

이상으로 Dirac delta function을 사용하여 임의의 함수를 표현하는 방법과 그 직관적인 이해에 대한 설명을 마칩니다. 추가적인 질문이 있으시면 언제든지 문의해주세요.

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