[회로이론] Xc와 아크탄젠트세타에 대한 의문 (meeting, problem, Xc, wC, arctangent theta, video lecture, capacitance, j, capacitive reactance, phase angle)

질문 요약

교제 166p.g 에 문제에서 6.6에 Xc는 -1/wc 인지 햇갈립니다. 그냥 1/wc가 아닌지요. 6.7에서도 아크탄젠트세타는 -1/wcrR로 표현되 있는데 그냥 1/wcR아닌지요? 동영상 강의에서도 -1안 붙이고 풀엇는데 교제가 잘못된 것인가요? 캐패시턴스가 1/jwc인데 분모의 j를 분자로 보내려고 -j/wc로 표현해서 책에서는 -를 붙인 것인가요? 그런데 위 값들을 구할떄 j는 어디로 사라졌는지 잘 모르겠습니다. (j는 90도 아닌가요?)

답변 요약

용량성 리액턴스를 적용할 때는 부호에 따라 계산합니다. j가 사용되며 j앞의 부호에 따라 위상이 결정됩니다. 크기와 방향(위상)을 같이 표현할 때는 j가 들어갑니다. 크기만 구할 경우에는 j를 사용하지 않습니다. 아크탄젠트세타에서는 위상의 크기를 구하는 것이 목적이므로 -1/wcR이나 +1/wcR이나 상관없습니다. 다만 1/wcrR은 오타입니다.

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[회로이론] Xc와 아크탄젠트세타에 대한 의문

이론적으로 교류 회로에서 용량성 리액턴스(Capacitive Reactance, $X_C$)는 주파수(f)와 커패시턴스(C)에 반비례하는 값을 가지며, 수학적으로는 $X_C = \frac{1}{\omega C}$ 로 표현됩니다. 여기서 $\omega$는 각주파수(Angular Frequency)로 $\omega = 2\pi f$ 로 계산됩니다. 따라서, $X_C = -\frac{1}{\omega C}$ 로 표현된 부분은 헷갈릴 수 있습니다.

이 부분에 대한 혼란은 주로 페이저(Phasor) 표현과 관련이 깊습니다. 페이저를 사용하여 회로를 해석할 때는 용량성과 인덕턴스 리액턴스가 각각 $-jX_C$와 $jX_L$로 표현됩니다. 여기서 $j$는 허수단위로, 전기공학에서는 편의상 $\sqrt{-1}$ 대신 사용합니다. 커패시터에 의한 전압과 전류 사이의 위상차가 -90도($-j$)라는 것을 나타내기 위해 $-j$를 사용하는 것이죠.

문제에서 $X_C$에 음수가 붙은 것은 이러한 페이저 표현에서 유래한 것입니다. 실제로 크기를 계산할 때는 $j$를 제거한 양수값만 사용하면 되며, 이는 $X_C$가 언제나 양의 값을 가진다는 것을 의미합니다.

아크탄젠트세타($\arctan(\theta)$)에서의 궁금증도 비슷한 맥락에서 해결될 수 있습니다. 아크탄젠트세타는 일반적으로 위상 각도를 구하는 함수로 사용되며, 여기에서는 전압과 전류 사이의 위상 각도를 구하는 것이 목적입니다. 위상각을 구할 때는 실제 전기적인 위상 변화의 방향(즉, 전압이 전류보다 앞서가는지 뒤처지는지)이 중요하므로, 부호가 중요한 역할을 합니다. 그럼에도 불구하고, $\arctan(\theta)$ 값 자체는 위상의 크기만을 나타내므로 부호를 무시하고 절댓값을 사용하기도 합니다.

책에서 제시된 $-1/\omega CR$ 또는 $1/\omega CR$ 표현이 혼란을 줄 수 있는데, 실제로는 위상각을 구할 때 부호를 고려해야 합니다. 예를 들어, 커패시터가 전류를 선행하는 경우(용량성 회로)에는 위상각이 음수가 되어야 합니다. 따라서 $\arctan(-1/\omega CR)$로 계산해야 올바른 위상각을 얻을 수 있습니다.

동영상 강의에서 $-j$ 대신에 $j$를 사용하지 않고 문제를 푼 것은, 주로 위상 차이의 크기만을 다루기 때문입니다. 위상의 방향성을 고려하지 않고 결과값의 크기만을 산출하는 경우가 대부분이기 때문에, 위상각을 구할 때는 부호를 무시하고 계산할 수 있습니다.

캐패시턴스가 $1/j\omega C$인 것은 맞으나, 이것을 실제 회로 계산에 적용할 때는 부호와 함께 위상 변화를 고려해야 합니다. 이때 $j$는 사라지지 않고, 위상 변화를 나타내는 데 사용됩니다. 실제 계산에서 $j$가 사라지는 것처럼 보이는 이유는 크기만을 계산할 때는 복소수 부분을 무시하기 때문입니다.

결론적으로, 위상각을 계산하는 경우에는 실제 전기적인 위상 변화의 방향을 고려해야 하고, $j$의 부호가 중요합니다. 크기를 계산할 때는 부호를 무시하고 절댓값만을 사용하는 것이 일반적입니다. 교제의 표현이 혼란을 줄 수 있으니, 실제 문제를 해결할 때는 문제의 맥락을 고려하여 적절한 부호를 사용해야 합니다.

용량성 리액턴스($X_C$)와 위상각($\theta$)에 대한 궁금증은 회로이론의 핵심적인 부분입니다. 위의 설명이 여러분의 이해에 도움이 되었기를 바랍니다. 추가적인 질문이 있으시면 언제든지 물어보세요!

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