유체역학 14강 관련 질문 (Fluid Dynamics, Cylindrical Coordinates, Eulerian Description, Navier-Stokes Equation, Pressure Gradient, Rotational Motion)

질문 요약

14강에서 수평과 연직 방향으로 가속도 운동을 받는 유체의 공식 유도 시, 미소체적 원기둥의 길이를 h와 L로 하시고, 등속 회전 유체의 경우 dr로 하셨습니다. 왜 다른지 궁금합니다. 미소체적이니 dL, dh로 해야하는 것 아닌가요?

답변 요약

수평과 연직 방향에서 원기둥 길이를 h와 L로 잡은 것은 압력 차이가 그 길이에 대해 발생하는 경우가 많아 이해를 쉽게 하기 위해서입니다. 원칙적으로는 미소체적이므로 dr로 하는 것이 정확합니다. 추가로 편미분 관련 내용은 갓준표 채널의 나비에스톡스 무료 강의나 질의응답을 참고하시기 바랍니다. (계산 과정 : http://file.unistudy.co.kr/SEDATA/dylee_mqna_20201127101855.png)

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유체역학 14강 관련 질문

14강에서 수평과 연직 방향으로 가속도 운동을 받는 유체의 공식 유도 시, 미소체적 원기둥의 길이를 h와 L로 하시고, 등속 회전 유체의 경우 dr로 하셨습니다. 왜 다른지 궁금합니다. 미소체적이니 dL, dh로 해야 하는 것 아닌가요?

답변

다음은 이 질문에 대한 답변입니다:

1. 수평과 연직 방향에서 원기둥 길이의 선택: 수평과 연직 방향에서 원기둥의 길이를 h와 L로 잡은 이유는 압력 차이가 그 길이에 대해 발생하는 경우가 많아 이해를 쉽게 하기 위해서입니다. 유체역학 강의에서는 실제의 물리적 현상을 이해하기 쉽게 설명하기 위해 이러한 방식으로 길이를 설정할 수 있습니다.
2. 미소체적의 정의: 원칙적으로는 미소체적이므로 미소단위 (dr, dh, dL)를 사용하는 것이 정확합니다. 이는 유체의 미소변화에 대해 더 정확한 계산을 가능하게 합니다.
3. 등속 회전 유체의 경우: 등속 회전 유체에서 dr을 사용하는 이유는 회전 운동에서는 반지름 r 방향으로의 변화가 중요하기 때문입니다. 회전운동에서 각 위치의 반지름에 따라 속도와 압력 차이가 존재하므로, 미소 반지름 dr에 대해 고려하는 것이 적절합니다.

수평과 연직 방향에서의 가속도 운동 공식 유도

여기서는 수평과 연직 방향으로 가속도 운동을 받는 유체의 공식 유도 과정에 대해 간략히 설명하겠습니다.

• 수평 운동:

  수평 운동을 고려할 때, 유체의 미소체적에 작용하는 압력 차이와 가속도를 고려하여 운동 방정식을 세웁니다. 수평 길이를 L로 설정한 이유는 수평 방향으로의 압력 차이를 쉽게 계산하기 위함입니다.

  예를 들어, 유체가 일정한 가속도 a를 받을 때, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:

  \[ \frac{dP}{dx} = -\rho a \]

  여기서 P는 압력, x는 수평 방향 거리, \rho는 유체의 밀도입니다.

• 연직 방향 운동:

  연직 방향 운동을 고려할 때는 중력 가속도 g를 포함하여 방정식을 세웁니다. 연직 길이 h로 설정한 이유는 연직 방향으로의 압력 차이를 계산하기 위함입니다.

  예를 들어, 다음과 같은 방정식을 세울 수 있습니다:

  \[ \frac{dP}{dh} = -\rho g \]

  여기서 P는 압력, h는 연직 방향 거리, \rho는 유체의 밀도입니다.

등속 회전 유체의 공식 유도

등속 회전 유체의 경우, 반지름 방향으로의 압력 변화를 고려해야 합니다. 따라서 미소 반지름 dr을 사용하여 방정식을 세우게 됩니다.

등속 회전 운동에서의 방정식은 다음과 같습니다:

\[ \frac{dP}{dr} = \rho \omega^2 r \]

여기서 P는 압력, r은 반지름, \omega는 각속도, \rho는 유체의 밀도입니다.

압력 변화를 고려하면, 다음과 같은 형태로 변형할 수 있습니다:

\[ dP = \rho \omega^2 r \, dr \]

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결론

요약하자면, 수평과 연직 방향에서 원기둥의 길이를 h와 L로 설정한 이유는 이해를 쉽게 하기 위해서이며, 원칙적으로는 미소체적이므로 dr로 하는 것이 더 정확합니다. 등속 회전 유체의 경우 반지름 방향 변화가 중요하므로 dr을 사용하여 계산하는 것이 바람직합니다.

유체역학은 복잡한 수학적 계산을 필요로 하기 때문에, 편미분과 같은 수학적 도구를 잘 이해하는 것이 중요합니다. 추가로 나비에스톡스 방정식에 대한 고급 강의를 참고하면 더 깊이 있는 이해를 도울 수 있습니다.

이 블로그 포스트가 유체역학을 공부하는 여러분께 도움이 되기를 바랍니다!

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