정적비열 식 유도 중 엔트로피 미분 기호의 차이 (Thermodynamics, Specific heat, Entropy, Partial derivative, State function, Path function)

질문 요약

정적비열 식을 유도하는 과정에서 엔트로피의 미분을 d로도 하고 ∂로도 하셨는데 그 기준이 궁금합니다. (질문 시 사용한 이미지 : https://lh3.googleusercontent.com/d/1Ve5q0p92OZF_bLwMuc7JyyTnmoigTO84)

답변 요약

열역학에는 점함수(state function, point function)와 경로함수(path function)라는 개념이 있습니다. 아래의 사진을 보시면 이 두 함수가 적분될 때의 차이를 아실 수 있으실 겁니다. 어떤 변수가 여러 변수에 종속되어 있는 함수라면, 편미분을 할 때 쓰는 기호가 바로 ∂가 되겠습니다. (답변 시 사용한 이미지: http://file.unistudy.co.kr/SEDATA/dylee_mqna_20201019092045.PNG)

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정적비열 식 유도 중 엔트로피 미분 기호의 차이

열역학에서 정적비열 식을 유도하는 과정 중 엔트로피의 미분을 다룰 때, d와 ∂ 기호를 사용하는 기준에 대한 궁금증을 풀어보겠습니다. 이 주제를 이해하기 위해서는 점함수(state function)와 경로함수(path function)에 대한 개념을 먼저 알아야 합니다.

점함수는 시스템의 현재 상태만을 기반으로 값을 결정하는 함수입니다. 예를 들어, 엔트로피(S), 내부 에너지(U), 엔탈피(H) 등이 점함수에 해당합니다. 반면, 경로함수는 시스템이 특정 상태에서 다른 상태로 변화하는 경로에 의존하는 함수입니다. 예를 들어, 열(Q)과 일(W)은 경로함수에 해당합니다.

이제 미분 기호의 사용 기준을 이해해봅시다. 만약 한 변수가 여러 변수에 종속되어 있는 함수라면, 편미분을 할 때 ∂ 기호를 사용합니다. 이를 이해하기 위해 정적비열 식 유도 과정을 살펴보겠습니다.

정적비열 식 유도

1. 먼저, 열역학 제1법칙을 내부 에너지의 변화에 대해 적용합니다.

\[ dU = \delta Q - \delta W \]

2. 정적비열 \( C_v \)는 정적 과정에서의 비열이므로, 부피가 일정할 때의 열을 나타냅니다.

\[ \delta W = PdV \] (정적 과정에서는 \( dV = 0 \) 이므로 \( \delta W = 0 \))

3. 따라서, 정적 과정에서는 내부 에너지의 변화는 공급된 열과 동일합니다.

\[ dU = \delta Q \]

4. 정적비열 \( C_v \)는 다음과 같이 정의됩니다.

\[ C_v = \left( \frac{\partial Q}{\partial T} \right)_V \]

5. 이제 열역학 제2법칙을 통해 엔트로피의 변화와 열의 관계를 나타내면,

\[ dS = \frac{\delta Q}{T} \]

6. 이를 정적 과정에 적용하면,

\[ \delta Q = TdS \]

7. 따라서, 정적비열은 다음과 같이 유도됩니다.

\[ C_v = T \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_V \]

위 유도 과정에서 볼 수 있듯이, 엔트로피의 변화는 온도와 부피에 따라 달라질 수 있습니다. 그래서 편미분 기호 \( \partial \)를 사용하여 특정 변수에 대한 변화를 나타냅니다. 여기서 \( \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_V \)는 부피가 일정할 때 온도에 따른 엔트로피의 변화를 의미합니다.

엔트로피와 미분 기호의 차이

이제 엔트로피의 미분에서 d와 ∂의 차이를 명확히 이해해봅시다. 점함수의 경우, 전체 미분을 사용할 수 있으며 이는 d 기호로 표현됩니다. 예를 들어, 내부 에너지 U의 전체 미분은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[ dU = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V dT + \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T dV \]

반면, 특정 변수에 대해 미분을 할 때는 편미분 기호 ∂를 사용합니다. 예를 들어, 부피가 일정한 상태에서 온도에 따른 엔트로피의 변화를 표현할 때는 다음과 같이 나타냅니다.

\[ \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_V \]

위와 같이, 엔트로피가 여러 변수에 종속되어 있을 때는 편미분 기호 ∂를 사용하여 특정 변수에 대한 변화를 나타냅니다. 이는 열역학뿐만 아니라 수학의 다양한 분야에서도 동일하게 적용되는 개념입니다.

더욱 자세한 정보는 아래 이미지를 통해 확인해 보실 수 있습니다.

위의 이미지에서는 점함수와 경로함수의 차이를 더욱 명확하게 설명하고 있으며, 이를 통해 미분 기호의 사용 기준을 더욱 잘 이해할 수 있습니다.

이와 같이 열역학에서 d와 ∂ 기호를 사용하는 기준은 함수가 여러 변수에 종속되어 있는지 여부에 따라 결정됩니다. 이를 잘 이해하면 정적비열 식을 유도하는 과정에서 엔트로피의 미분을 정확하게 다룰 수 있습니다.

위의 내용이 여러분의 질문에 대한 충분한 답변이 되었기를 바랍니다. 열역학의 기본 개념을 잘 이해하고 활용하면, 다양한 공학 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 것입니다.

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