주파수 계산에서 2π를 곱해야 하는 경우 (circuit theory, frequency response, cutoff frequency, center frequency, angular frequency, transmission function)

질문 요약

교재에서 차단주파수, 중심주파수를 구할 때 항상 2π를 곱하라고 합니다. 그런데 어떤 문제에서는 2π를 사용하지 않아도 된다고 나오는데, 어떻게 해야 하나요?

답변 요약

주파수는 Hz 단위를 사용하는 주파수 f와 rad/s 단위를 사용하는 각주파수 w가 있습니다. 회로이론에서는 보통 각주파수 w를 많이 사용합니다. '주파수'라는 단어를 보면, Hz인지 rad/s인지 확인하여 각주파수인지 확인해야 합니다. 전달함수 문제에서는 먼저 각주파수가 도출됩니다. w=2πf 관계식을 통해 각주파수 w를 주파수 f로 변환할 수 있습니다. 즉, Kf를 구할 때 각 주파수를 Hz나 rad/s로 통일하여 계산해야 합니다.

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주파수 계산에서 2π를 곱해야 하는 경우

주파수 계산에서 2π를 곱해야 하는 경우는 흔히 각주파수와 일반 주파수의 차이를 이해하는 데서 시작됩니다. 주파수는 기본적으로 진동이나 파동이 시간 단위 당 반복되는 횟수를 나타내는 값으로, 일반적으로 Hz(헤르츠) 단위를 사용합니다. 반면, 각주파수는 이러한 반복을 각도로 표현하여 rad/s(라디안/초) 단위를 사용합니다.

본 블로그 포스트에서는 주파수 계산에서 언제 2π를 곱해야 하는지, 그리고 이를 통해 다양한 주파수를 어떻게 변환하고 활용할 수 있는지를 설명합니다. 이 과정에서 차단주파수와 중심주파수 같은 개념도 함께 다루어보겠습니다.

주파수와 각주파수의 차이

주파수 \( f \)는 초당 몇 번의 주기를 갖는지를 의미하며, 단위는 Hz입니다. 반면에 각주파수 \( \omega \)는 초당 몇 라디안의 각도를 회전하는지를 나타내는 값으로, 단위는 rad/s입니다. 두 값은 다음과 같은 관계식을 통해 변환할 수 있습니다:

\[ \omega = 2\pi f \]

이 때, \( f \)는 Hz 단위의 주파수이고, \( \omega \)는 rad/s 단위의 각주파수입니다. 이 식에서 나타나는 2π는 원주율과 관련이 있으며, 주파수를 각도로 변환할 때 필수적입니다.

회로 이론에서 각주파수의 중요성

회로 이론에서는 주파수 대신 각주파수를 사용하는 경우가 많습니다. 이는 주로 전달함수와 같은 복잡한 수학적 계산에서 보다 직관적이고 편리하기 때문입니다. 전달함수는 입력 신호와 출력 신호 사이의 관계를 나타내는 중요한 함수로, 주로 라플라스 변환을 사용하여 계산됩니다. 이 과정에서 각주파수 \(\omega\)는 필수적입니다.

전달함수 문제를 풀 때는 일반적으로 각주파수가 도출됩니다. 따라서 주파수가 주어졌을 때는 먼저 이를 각주파수로 변환한 후 계산을 진행하는 것이 일반적입니다. 이 때 주파수 변환을 위해 \( \omega = 2\pi f \) 관계식을 사용합니다.

차단주파수와 중심주파수 계산

회로 설계에서 중요한 요소 중 하나는 차단주파수와 중심주파수입니다. 차단주파수는 신호가 필터를 통과할 때 크게 감소되는 주파수를 의미하며, 중심주파수는 대역 통과 필터에서 가장 강하게 통과되는 주파수를 의미합니다.

1. 차단주파수 계산: 보통 주파수 응답 함수에서 -3dB 포인트에서 결정됩니다. 이때 각주파수로 변환하여 계산할 수 있습니다.
2. 중심주파수 계산: 대역폭의 중심에 해당하는 주파수로, 대개 두 차단주파수의 기하 평균으로 계산되며, \(\sqrt{f_1 \cdot f_2}\) 형태로 나타납니다.

이들 주파수 역시 회로 분석에서 각주파수로 변환하여 분석하는 것이 일반적입니다.

주파수 통일의 중요성

주파수와 각주파수 계산 시 가장 중요한 것은 두 단위를 명확히 구분하고, 필요에 따라 변환하여 사용하는 것입니다. 혼란을 피하기 위해 다음과 같은 기준을 따를 수 있습니다:

• 주파수를 단순히 회전수로 표현해야 할 경우 Hz 단위를 사용한다.
• 회로 분석에서 각도와 관련된 계산이 필요할 때는 rad/s 단위를 사용한다.
• 전달함수나 필터 설계 문제에서 주파수를 변환할 때는 \( \omega = 2\pi f \) 관계식을 반드시 적용한다.

이러한 기준을 따라 주파수와 각주파수를 일관되게 사용함으로써, 보다 정확하고 효율적인 회로 분석과 설계가 가능합니다.

결론

주파수 계산에서 2π를 곱하는 이유는 주파수와 각주파수 사이의 변환 때문입니다. 회로 이론에서 각주파수를 사용하는 것이 일반적이므로, 문제를 풀 때 주어진 주파수를 각주파수로 변환하여 일관된 방식으로 계산하는 것이 중요합니다. 이러한 변환을 통해 보다 정확한 분석과 설계가 가능하며, 이를 통해 효율적인 시스템 개발이 가능합니다.

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