Rigid Body Rotation에서 반경만 고려하는 이유 (fluid mechanics, rigid body rotation, radial variables, pressure depth, angular velocity, fluid acceleration)

질문 요약

Rigid body rotation 과정을 유도할 때 반경 r만을 변수로 두고 풀이했습니다. 같은 반경이라도 깊이가 깊어지면 압력이 더 커지는데 왜 이 부분은 고려하지 않았나요? (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1Yy0nq9ZKVPGdYYTk9Zj3OVbg_FplHaDI)

답변 요약

최종식은 p-p0가 비중, 반지름, 각속도, 중력가속도의 함수입니다. 깊이가 고려되지 않는 이유는 p0값에서 이미 고려되었기 때문입니다. 질문이 더 있다면 알려주세요.

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Rigid Body Rotation에서 반경만 고려하는 이유

Rigid Body Rotation, 즉 강체의 회전 운동에서 우리가 자주 직면하는 질문 중 하나는 왜 반경 r만을 고려하고 깊이 변화에 따른 압력 변화를 무시하는가입니다. 이 질문은 매우 타당하며, 이를 이해하기 위해서는 기본적인 물리적 원리와 수학적 유도를 깊이 있게 살펴볼 필요가 있습니다.

우선, 강체의 회전 운동을 이해하기 위해서는 강체가 일정한 각속도 ω로 회전하고 있다는 가정 하에 시작합니다. 이 경우, 강체의 임의의 점에서의 원심력은 회전 반경 r에 따라 달라집니다. 이는 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있습니다:

원심력 F는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ F = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

여기서 m은 질량, r은 반경, ω는 각속도입니다. 이 식에서 볼 수 있듯이, 원심력은 반경 r에 비례합니다. 이 때문에 회전 운동을 분석할 때 반경 r이 주요 변수로 사용됩니다.

압력 차이와 깊이 고려

강체의 회전에서 압력 차이는 주로 원심력에 의해 결정됩니다. 원심력에 의해 유체나 물체 표면의 압력이 변하는데, 이 때 깊이는 상대적으로 덜 중요할 수 있습니다. 반경 r이 같다면, 같은 원심력이 작용하기 때문입니다. 이 때 압력 차이 p - p_0는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ p - p_0 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \omega^2 \cdot r^2 \]

여기서 p_0는 기준 압력, ρ는 유체의 밀도, ω는 각속도, r은 반경입니다. 이 식을 보면, 압력 차이는 깊이가 아닌 반경과 각속도에 따라 결정됩니다. 이는 유체가 회전할 때 압력 변화가 주로 원심력에 의해 발생한다는 사실을 의미합니다.

깊이가 고려되지 않는 이유

그렇다면 왜 깊이는 고려되지 않는 것일까요? 이는 주로 기준 압력 p_0에서 이미 깊이가 고려되었기 때문입니다. 회전 운동을 분석할 때 주로 표면에서의 압력 변화를 중점적으로 다루며, 이 경우 기준 압력 p_0는 주어진 깊이에서의 압력 상태를 반영합니다.

이는 다음과 같이 설명할 수 있습니다. 만약 유체가 특정 깊이에서 회전하고 있다면, 그 깊이에서의 압력은 대기압이나 특정 기준 압력 p_0에 의해 이미 설정됩니다. 그러므로 회전으로 인한 추가적인 압력 변화는 반경과 각속도에 의해서만 결정되는 것입니다.

마무리

결론적으로, Rigid Body Rotation에서 주로 반경 r만을 고려하는 이유는 원심력의 영향이 주로 반경에 의존하기 때문입니다. 깊이는 기준 압력 p_0에 이미 포함되어 있으며, 회전 운동 자체의 분석에서는 크게 영향을 미치지 않습니다. 이러한 이유로 회전 운동을 분석할 때 깊이보다는 반경과 각속도가 주요 변수로 사용됩니다.

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