전달함수와 주파수응답 관계 증명에 대한 질문 (circuit theory, transfer function, frequency response, mathematical proof, complex analysis, partial fraction expansion)

질문 요약

전달함수와 주파수응답의 관계 증명 과정이 이해되지 않습니다. 특히 2번의 X(s)에서 K, K*로 정리되는 부분과 3번의 s에 jw 대입의 의미가 궁금합니다. 4번의 y(t) 계산 과정도 이해가 안 되니 설명 부탁드립니다. (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1oDjDLrZOSZll0oAGCnBQxgvx2mc1JFae)

답변 요약

2번과 3번 부분은 부분분수전개(212p~218p 내용 참조)를 이해해야 합니다. 또한, 3번과 4번에서는 K를 극좌표형식으로 변환하였고 이것은 K의 크기와 위상에 대한 단순 대입입니다. 자세한 부분은 첨부된 이미지를 참고하세요. (답변 시 첨부한 이미지: https://file.unistudy.co.kr/Data/SEDATA/hanna714__20241109041945.jpg)

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전달함수와 주파수응답의 관계

전달함수(Transfer Function)와 주파수응답(Frequency Response)은 시스템 해석에서 매우 중요한 개념입니다. 제어 시스템이나 신호처리에서 주로 사용되는 이 개념들은 복잡한 시스템의 행동을 분석하고 예측하는 데 필수적입니다. 이번 블로그에서는 전달함수와 주파수응답의 관계를 수식적으로 어떻게 증명하는지, 그리고 그 과정에서 발생하는 여러 수학적 변환을 이해하는데 도움을 드리고자 합니다.

1. 전달함수의 정의

전달함수는 주로 라플라스 변환에서 사용되며, 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 나타냅니다. 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다:

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

여기서 $H(s)$는 시스템의 전달함수, $Y(s)$는 출력의 라플라스 변환, $X(s)$는 입력의 라플라스 변환입니다.

2. 주파수 응답의 정의

주파수 응답은 시스템이 주파수에 따라 어떻게 반응하는지를 나타냅니다. 주파수 응답은 전달함수에 복소수 $s$를 $j\omega$로 대입하여 구할 수 있습니다. 즉,

$$H(j\omega )=H(s){|}_{s=j\omega }$$

이 식은 $s$-도메인에서 $j\omega$-도메인으로의 변환을 나타내며, 이는 시간 영역에서 시스템이 주기적인 입력에 어떻게 반응하는지를 나타냅니다.

3. 부분분수 전개

부분분수 전개는 복잡한 다항식 비율을 더 간단한 형식으로 분해하는 방법입니다. 이는 전달함수의 분해에 사용되며, 각 항은 쉽게 역 라플라스 변환을 적용할 수 있는 형태입니다. 예를 들어:

$$\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{A}{s-p_1}+\frac{B}{s-p_2}+\dots$$

여기서 $N(s)$와 $D(s)$는 각각 분자와 분모 다항식, $A,B,\dots$는 상수, $p_1,p_2,\dots$는 극점(Poles)입니다.

4. 극좌표 변환

극좌표 변환은 복소수를 크기와 위상각의 형태로 변환하는 방법입니다. 복소수 $K$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

$$K=|K|e^{j\theta }$$

이를 통해 주파수 응답을 크기와 위상으로 나눠서 분석할 수 있습니다.

5. 주파수응답 계산

주파수 응답을 계산할 때, 전달함수의 각 항에 대해 $s$에 $j\omega$를 대입하는 과정을 거칩니다. 예를 들어:

$$H(j\omega )=\frac{A}{j\omega -p_1}+\frac{B}{j\omega -p_2}+\dots$$

이 과정을 통해 시스템의 주파수 응답을 크기와 위상각으로 분석할 수 있습니다. 결과적으로 시간 영역의 입력 신호가 주파수 영역에서 어떻게 변형되는지를 예측할 수 있습니다.

결론

이번 포스트에서는 전달함수와 주파수응답 간의 관계를 수학적으로 증명하는 방법을 살펴보았습니다. 전달함수에서 주파수 응답을 구하기 위해서는 부분분수 전개와 극좌표 변환을 잘 이해해야 합니다. 이러한 과정은 시스템 해석과 신호처리 분야에서 필수적이며, 주파수 응답을 통해 시스템의 특성을 보다 명확히 이해할 수 있습니다. 추가적인 학습이 필요하다면 관련 교재나 참조 자료를 통해 지속적으로 공부하시길 권장합니다.

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