버터워스 저역통과필터의 주파수 응답과 전달함수 (Butterworth filter, Low pass filter, Frequency response, Cutoff frequency, Transfer function, Circuit theory)

질문 요약

버터워스 저역통과필터의 주파수응답크기 증명과 차단주파수가 1이 아닐 때의 전달함수에 대해 알고 싶습니다. 차단주파수가 1이 아니면 전달함수의 통과대역이득이 어떻게 변하나요?

답변 요약

버터워스필터는 H(s)=1/(1+s)^n 형태로 설계되어, n이 증가해도 대역폭이 줄어들지 않는 특성을 찾기 위한 수학적 유추로 도입되었습니다. 저역통과필터의 통과대역이득은 w=0일 때의 이득입니다. 여기서 s/wc를 대입하여 얻은 전달함수에서 s=0을 대입하면 여전히 원래의 통과대역이득과 동일합니다. 고역통과필터 및 대역통과필터에서도 이 원리는 동일하게 적용됩니다.

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버터워스 저역통과필터의 주파수 응답과 전달함수

버터워스 필터는 아날로그 필터 설계에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특히 저역통과필터로 자주 사용되며, 필터의 주파수 응답이 최대한 평탄하게 유지되도록 설계됩니다. 이는 주파수 응답 곡선이 통과대역 내에서 최대한의 평탄함을 유지하며, 차단 주파수까지 급격한 감쇠 없이 이어지는 특성에 기인합니다.

버터워스 필터의 주파수 응답 증명

버터워스 저역통과필터의 주파수 응답은 다음과 같은 형태로 주어집니다:

\[ |H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}}} \]

여기서 \(\omega_c\)는 차단 주파수, \(n\)은 필터의 차수(degree)입니다. 이 응답은 \(\omega = \omega_c\)일 때 \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\)가 되어, 차단 주파수에서의 감쇠가 -3dB임을 나타냅니다. 이는 버터워스 필터가 '최대 평탄' 필터로 불리는 이유입니다. 주파수 응답의 크기가 통과대역 내에서 일정하게 유지되며, 차단 주파수 근처에서만 감쇠가 발생하기 때문입니다.

차단주파수가 1이 아닐 때의 전달함수

버터워스 필터의 기본 전달 함수는 차단 주파수가 \(\omega_c = 1\)일 때 다음과 같이 표현됩니다:

\[ H(s) = \frac{1}{(1 + s)^n} \]

그러나 실제 설계에서는 차단 주파수가 1이 아닌 경우가 많습니다. 이때, 차단 주파수를 고려한 전달 함수는 다음과 같이 변형됩니다:

\[ H(s) = \frac{1}{(1 + \frac{s}{\omega_c})^n} \]

여기서 \(\omega_c\)는 원하는 차단 주파수를 의미합니다. 이 전달 함수를 통해, 차단 주파수가 1이 아닐 때도 필터의 특성을 유지할 수 있습니다.

통과대역이득의 변화

저역통과필터의 통과대역이득은 일반적으로 \(\omega = 0\)일 때의 이득입니다. 전달 함수에 s = 0을 대입하면 다음과 같이 됩니다:

\[ H(0) = \frac{1}{(1 + 0)^n} = 1 \]

즉, s 대신 \(\frac{s}{\omega_c}\)를 대입하더라도 통과대역이득은 변하지 않습니다. 이는 필터의 차단 주파수에 관계없이, 이상적인 상황에서 통과대역 내에서는 입력 신호가 그대로 출력됨을 의미합니다.

결론

버터워스 저역통과필터는 차단 주파수에 상관없이 일정한 통과대역이득을 유지하는 특성을 가지고 있습니다. 이는 필터 설계 시 주파수 응답의 평탄함을 최대로 유지하려는 목적과 부합합니다. 또한, 차단 주파수가 변하더라도 필터의 전달 함수는 적절히 조정되어 원하는 필터 특성을 유지할 수 있습니다.

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