[진동학] Damping System의 Homogeneous Solution 관련 질문 (vibration, harmonic excitation, damping system, underdamped, homogeneous solution, equation of motion)

질문 요약

6강 강의 초반부에서 damping system에 대한 설명이 빠져 궁금합니다. 강의에서는 homogeneous 해를 x(h) = A*exp(xi*wn*t)*sin(wd*t+phi)라고 소개하셨습니다. 이는 underdamped system으로 가정하고 해를 구한 것 같은데, 어떻게 알 수 있을까요? 저는 별도의 교재가 없어 어떤 damping system인지 설명이 필요합니다.

답변 요약

비제차 미분 방정식을 배우셨다면, homogeneous solution이란 우변이 0일 때의 해, 즉 외력(external force)이 없을 때의 해를 말합니다. particular solution은 우변에 항이 있을 때, 즉 force가 존재할 때의 해입니다. 비제차 미분 방정식의 해는 homogenous solution과 particular solution의 합으로 구합니다. 따라서 damping constant가 존재해도 underdamped motion으로 가정하지 않습니다.

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[진동학] Damping System의 Homogeneous Solution 관련 질문

이번 포스트에서는 진동학에서 많이 다루는 damping system의 homogeneous solution에 대해 설명하겠습니다. 특히, underdamped system의 해를 어떻게 구하는지에 대해 알아보겠습니다. 아래의 질문과 답변을 통해 자세히 풀어보도록 하겠습니다.

질문

6강 강의 초반부에서 damping system에 대한 설명이 빠져 궁금합니다. 강의에서는 homogeneous 해를 \( x_h = A \exp(i \omega_n t) \sin(\omega_d t + \phi) \)라고 소개하셨습니다. 이는 underdamped system으로 가정하고 해를 구한 것 같은데, 어떻게 알 수 있을까요? 저는 별도의 교재가 없어 어떤 damping system인지 설명이 필요합니다.

답변

비제차 미분 방정식을 배우셨다면, homogeneous solution이란 우변이 0일 때의 해, 즉 외력(external force)이 없을 때의 해를 말합니다. particular solution은 우변에 항이 있을 때, 즉 force가 존재할 때의 해입니다. 비제차 미분 방정식의 해는 homogeneous solution과 particular solution의 합으로 구합니다. 따라서 damping constant가 존재해도 underdamped motion으로 가정하지 않습니다.

부연 설명

진동학에서 damping system의 해를 구할 때, 시스템이 underdamped, overdamped, critically damped인지에 따라 해의 형태가 달라집니다. 이를 더 잘 이해하기 위해 각각의 경우를 수학적으로 분류해 보겠습니다.

Damping 시스템의 분류

1. Underdamped System
2. Critically Damped System
3. Overdamped System

각 시스템에 대해 간략히 설명하고, 수식으로 표현해보겠습니다.

1. Underdamped System

Underdamped system에서는 damping 비율이 자연주파수보다 작습니다. 이 경우 시스템은 진동하며 점차적으로 진폭이 감소합니다. 이 경우의 해는 다음과 같습니다:

\[ x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left( A \cos(\omega_d t) + B \sin(\omega_d t) \right) \]

여기서 \(\omega_d\)는 감쇠된 진동수로, \(\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}\)입니다. 이 수식은 질량이 감쇠된 주기적인 운동을 나타냅니다.

2. Critically Damped System

Critically damped system에서는 damping 비율이 자연주파수와 같습니다. 이 경우 시스템은 진동 없이 원점으로 돌아옵니다. 이 경우의 해는 다음과 같습니다:

\[ x(t) = (A + Bt) e^{-\omega_n t} \]

이 수식은 시스템이 진동 없이 안정화되는 것을 나타냅니다.

3. Overdamped System

Overdamped system에서는 damping 비율이 자연주파수보다 큽니다. 이 경우 시스템은 진동 없이 매우 천천히 원점으로 돌아옵니다. 이 경우의 해는 다음과 같습니다:

\[ x(t) = A e^{(-\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_n t} + B e^{(-\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1}) \omega_n t} \]

이 수식은 매우 느린 감쇠 운동을 나타냅니다.

결론

결론적으로, underdamped system의 해는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다:

\[ x_h = A \exp(i \omega_n t) \sin(\omega_d t + \phi) \]

이는 damping 비율이 자연주파수보다 작을 때 적용되는 해입니다. homogeneous solution은 외력이 없을 때의 해를 의미하며, 비제차 미분 방정식의 해는 homogeneous solution과 particular solution의 합으로 이루어집니다. damping constant가 존재한다 하더라도 시스템의 해는 각 경우에 따라 다르게 나타날 수 있으므로, 주어진 상황에 따라 적절한 해를 사용해야 합니다.

이번 포스트가 damping system의 homogeneous solution을 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다. 추가적인 질문이 있으면 언제든지 댓글로 남겨주세요.

감사합니다.

참고 자료

• Damping - Wikipedia
• Damped Simple Harmonic Motion - Wolfram MathWorld

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