Cylindrical Coordinates에서의 Theta와 er 벡터 관계 (cylindrical coordinates, vector math, physics equations, vector components, cylindrical system, mathematical illustration)

질문 요약

동역학 강의 복습 중에 Cylindrical Coordinates에 관한 의문이 생겼습니다. 교수님께서 R(vector) = r*er(vector) + z*k(vector)로 설명하시며, theta는 er에 따라 같이 변하기 때문에 표기하지 않아도 된다고 하셨습니다. 그렇다면 theta는 er에 종속되어 같이 변한다고 이해해도 되는 건가요? 속도와 가속도 유도식을 보면 theta가 er 벡터에 의해 변환되어, er 벡터가 변하면 eθ도 변하게 되니 따로 표기하지 않는다고 이해했습니다. 맞는지 확인 부탁드립니다.

답변 요약

말씀하신 것처럼 er 벡터는 theta와 관련이 있습니다. 이를 '종속'되었다고 표현하기는 조금 그렇지만, 관련이 당연히 있습니다. Cylindrical coordinate에서 변위를 정할 때, er 벡터로 간 다음, 높이에 따른 k 벡터만큼 더해주면 됩니다. R 벡터를 이해하는 과정은 잘 이해하신 것 같습니다. (답변에 첨부한 이미지 : http://file.unistudy.co.kr/SEDATA/dylee_mqna_20200824095845.PNG)

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Cylindrical Coordinates에서의 Theta와 er 벡터 관계

동역학 강의를 복습하던 중 Cylindrical Coordinates에 대한 궁금증이 생겼습니다. 교수님께서 설명하시길, 위치 벡터 \( \mathbf{R} \)는 \( \mathbf{r} = r \mathbf{e}_r + z \mathbf{k} \)로 표현된다고 하셨습니다. 여기서 \(\theta\)는 \(\mathbf{e}_r\)에 따라 같이 변하기 때문에 따로 표기하지 않아도 된다고 하셨습니다. 그렇다면 \(\theta\)는 \(\mathbf{e}_r\)에 종속되어 같이 변한다고 이해해도 되는 걸까요? 이번 포스팅에서는 이 질문에 대해 답변하고, Cylindrical Coordinates에서의 \(\theta\)와 \(\mathbf{e}_r\) 벡터의 관계를 명확히 설명해 보겠습니다.

1. Cylindrical Coordinates의 정의

Cylindrical Coordinates (원통 좌표계)는 \(r\), \(\theta\), \(z\) 세 가지 변수로 공간의 위치를 정의하는 좌표계입니다. 여기서:

• \(r\): 원점으로부터의 반지름 (radial distance)
• \(\theta\): xy 평면상에서의 각도 (azimuthal angle)
• \(z\): z축을 따라 측정한 높이 (height)

이 좌표계를 사용하면, 위치 벡터 \(\mathbf{R}\)는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \mathbf{R} = r \mathbf{e}_r + z \mathbf{k} \]

2. \(\mathbf{e}_r\) 벡터와 \(\theta\)의 관계

원통 좌표계에서 \(\mathbf{e}_r\) 벡터는 반지름 방향을 나타내며, \(\theta\)는 이 반지름 방향과 관련된 각도를 나타냅니다. 따라서 \(\mathbf{e}_r\) 벡터는 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

\[ \mathbf{e}_r = \cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\theta) \mathbf{j} \]

이때 \(\mathbf{i}\)와 \(\mathbf{j}\)는 각각 x축과 y축을 나타내는 단위 벡터입니다. 이 벡터는 \(\theta\)에 따라 방향이 결정되므로, \(\mathbf{e}_r\)가 변하면 \(\theta\)도 변하게 됩니다. 따라서 \(\mathbf{e}_r\)와 \(\theta\)는 상호 관련이 있다고 볼 수 있습니다.

3. 위치 벡터 \(\mathbf{R}\)의 표현

위치 벡터 \(\mathbf{R}\)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

\[ \mathbf{R} = r \mathbf{e}_r + z \mathbf{k} = r (\cos(\theta) \mathbf{i} + \sin(\theta) \mathbf{j}) + z \mathbf{k} \]

여기서 \(\mathbf{k}\)는 z축 방향을 나타내는 단위 벡터입니다. 이 식을 통해 \(\mathbf{R}\) 벡터가 \(\theta\)와 \(\mathbf{e}_r\) 벡터에 의해 완전히 정의됨을 알 수 있습니다.

4. 속도와 가속도 유도

Cylindrical Coordinates에서 속도와 가속도를 유도할 때는 \(\theta\)와 \(\mathbf{e}_r\) 벡터의 관계를 명확히 이해하는 것이 중요합니다. 속도 벡터 \(\mathbf{v}\)는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \mathbf{v} = \frac{d \mathbf{R}}{dt} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r \dot{\theta} \mathbf{e}_\theta + \dot{z} \mathbf{k} \]

여기서 \(\mathbf{e}_\theta\)는 \(\theta\) 방향의 단위 벡터로, 다음과 같이 정의됩니다:

\[ \mathbf{e}_\theta = -\sin(\theta) \mathbf{i} + \cos(\theta) \mathbf{j} \]

가속도 벡터 \(\mathbf{a}\)는 속도 벡터를 시간에 대해 미분하여 구할 수 있습니다:

\[ \mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{dt} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \mathbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta}) \mathbf{e}_\theta + \ddot{z} \mathbf{k} \]

5. 종속 관계의 이해

지금까지 살펴본 것처럼, \(\mathbf{e}_r\) 벡터는 \(\theta\)에 의해 결정되므로, \(\theta\)와 \(\mathbf{e}_r\)는 상호 관련이 있습니다. 이를 "종속"이라고 표현하는 것은 부정확할 수 있지만, \(\mathbf{e}_r\) 벡터가 변하면 \(\theta\)도 변하게 되는 상관관계가 있음을 알 수 있습니다.

결론

결론적으로, \(\mathbf{e}_r\) 벡터와 \(\theta\)는 밀접한 관계가 있으며, \(\mathbf{e}_r\) 벡터가 변하면 \(\theta\)도 변합니다. 따라서 위치 벡터 \(\mathbf{R}\)를 표현할 때 \(\theta\)를 따로 표기하지 않아도 되는 이유가 여기에 있습니다. 동역학에서 속도와 가속도를 유도할 때도 이러한 관계를 명확히 이해하는 것이 중요합니다.

아래 이미지는 해당 내용을 시각적으로 이해하는 데 도움이 될 것입니다:

이 포스팅이 Cylindrical Coordinates에서의 \(\theta\)와 \(\mathbf{e}_r\) 벡터의 관계를 이해하는 데 도움이 되길 바랍니다.

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