왜 -180도가 s=1j인지 이해하기 (control systems, Bode plot, Nyquist plot, phase angle, sinusoidal input, frequency response)

질문 요약

저부분에서 왜 -180도일때가 s=1j인지를 잘 모르겠습니다. -90도에서 -180도까지 90만큼만 돌면되니 s=1j인건가 싶긴한데 잘모르겠네요. 그냥 일반적으로 180도라고 하면 s=-1이 좀더 합당한 얘기지 않을까 싶어서요 1사분면과 4사분면사이에 있는 x축부터 각을 재는 게 일반적이니까 거기서부터 잰다고 하면 180도에 위치한 곳은 2사분면과 3사분면 사이의 x축인 위치가 맞지 않을까요?

답변 요약

강의에서 말하는 -180도는 G(s)의 phase를 의미합니다. G(s)가 -1의 배수가 되는 지점을 찾아야 하는데, Bode plot과 Nyquist plot에서는 모든 s를 jw로 바꾸어 해석합니다. input은 sinusoidal이고, 이를 통해 출력의 모양을 분석합니다. 따라서 Bode phase plot은 G(jw)의 phase를, Bode magnitude plot은 G(jw)의 magnitude를, Nyquist plot은 이 둘을 합친 것입니다. 해당 수식에서 w=1, 즉 s=1j일 때 G(s)가 음의 실수가 되어서 -180도임을 쉽게 알 수 있습니다. 자세한 내용은 20/21강에서 확인할 수 있습니다.

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왜 -180도가 s=1j인지 이해하기

이 블로그에서는 회로이론과 제어공학에서 자주 등장하는 주제인 s=1j와 관련된 내용을 다룹니다. 특히, 왜 -180도일 때 s=1j가 되는지에 대한 질문에 대해 자세히 설명하겠습니다. 이 과정에서 라플라스 변환, 니퀴스트 플롯 및 보드 플롯의 개념을 활용하여 문제를 풀어나갈 것입니다.

1. 라플라스 변환과 복소수 평면

라플라스 변환은 시간 영역의 함수를 복소수 평면으로 변환하여 시스템의 특성을 분석하는 데 유용한 도구입니다. 라플라스 변환의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:

\[ F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \]

여기서 s는 복소수이며, 일반적으로 s = σ + jω 형태로 나타낼 수 있습니다. 이 때 σ는 감쇠 요소, ω는 주파수 요소를 나타냅니다.

2. 주파수 응답과 G(s)의 위상

주파수 응답을 분석할 때, 라플라스 변환에서 s를 jω로 치환하여 분석을 진행합니다. 즉, s = jω가 되는 것입니다. 이렇게 하면 시스템의 주파수 특성을 쉽게 파악할 수 있습니다. 함수 G(s)의 위상(phase)은 주파수 ω에 대해 다음과 같이 정의됩니다:

\[ \text{Phase} = \arg(G(j\omega)) \]

이 위상은 각 주파수에 대해 시스템이 어떻게 반응하는지를 나타내는 중요한 요소입니다.

3. 보드 플롯과 니퀴스트 플롯

보드 플롯(Bode Plot)은 주파수 응답의 크기(magnitude)와 위상(phase)을 그래프로 나타낸 것입니다. 보드 플롯은 두 가지 그래프로 구성되며, 하나는 주파수에 따른 크기, 다른 하나는 주파수에 따른 위상을 나타냅니다.

니퀴스트 플롯(Nyquist Plot)은 복소수 평면에서 주파수 응답을 나타내는 그래프입니다. 이 플롯은 주파수 응답의 크기와 위상을 동시에 보여주며, 시스템의 안정성을 분석하는 데 매우 유용합니다.

4. -180도에서 s=1j가 되는 이유

이제 본격적으로 질문에 답해보겠습니다. 강의에서 말하는 -180도는 G(s)의 위상(phase)을 의미합니다. G(s)가 -1의 배수가 되는 지점을 찾아야 하는데, 이는 G(s)가 음의 실수가 되는 지점입니다. 이를 위해 주파수 ω를 jω로 치환하여 G(jω)의 값을 구합니다.

주파수 ω=1, 즉 s=1j일 때 G(s)의 값을 계산해봅시다. 만약 G(s)가 음의 실수가 되는 경우, 이는 위상이 -180도라는 것을 의미합니다. 이 지점을 찾는 과정에서 보드 플롯과 니퀴스트 플롯을 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다.

예를 들어, 특정 시스템에서 전달 함수 G(s)가 다음과 같다고 가정해봅시다:

\[ G(s) = \frac{K}{s(s+1)} \]

이제 s를 jω로 치환하여 G(jω)를 계산해봅시다:

\[ G(j\omega) = \frac{K}{j\omega(j\omega + 1)} \]

이 함수를 분해하여 위상(phase)을 계산하면, ω=1일 때 G(jω)의 위상이 -180도가 되는 지점을 찾을 수 있습니다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

\[ \arg\left(\frac{K}{j\omega(j\omega + 1)}\right) = \arg(K) - \arg(j\omega) - \arg(j\omega + 1) \]

여기서 K는 실수이므로 \(\arg(K) = 0\) 입니다. 또한, \(\arg(j\omega) = 90^\circ\) 이며, \(\arg(j\omega + 1) = \arg(1 + j\omega)\) 입니다. 이 때 ω=1일 때, \(\arg(1 + j) = 45^\circ\) 가 됩니다. 따라서 전체 위상은 다음과 같이 계산됩니다:

\[ \text{Total Phase} = 0 - 90^\circ - 45^\circ = -135^\circ \]

이를 통해 ω=1일 때 위상이 -135도임을 알 수 있습니다. 그러나 시스템에 따라 다를 수 있으므로, 주어진 시스템의 전달 함수를 정확히 분석하여 -180도일 때의 지점을 찾아야 합니다.

결론

강의에서 말하는 -180도는 G(s)의 위상을 의미하며, 이는 주파수 ω를 jω로 치환하여 분석해야 합니다. 보드 플롯과 니퀴스트 플롯을 통해 해당 주파수에서 G(s)가 음의 실수가 되는 지점을 찾을 수 있습니다. 이를 통해 s=1j가 되는 이유를 이해할 수 있습니다.

위의 설명과 예시를 통해 -180도에서 s=1j가 되는 이유를 명확히 이해했기를 바랍니다. 추가적인 질문이나 궁금한 점이 있다면 언제든지 문의해 주세요.

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