[고체역학] 고체역학 토크와 전단응력 관계 증명 중 수식 질문 (mechanical engineering, shear stress, strain angle, continuum mechanics, mathematics, calculus, solid mechanics, torque, differential equations, stress analysis)

질문 요약

shear stress(전단응력)가 가해졌을 때 각변형률을 왜 tan 값으로 나타내는지와 limit 극한 값을 사용하는 이유, 그리고 왜 z를 0으로 보내는지 질문드립니다. (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1wkTXIvg3VIlXbpXXjxxha_-j29e4k10S)

답변 요약

연속체 역학에서는 물체를 매우 작은 단위로 쪼개어 분석합니다. 이 때, 미세한 단위(dz)로 쪼개서 각 변형률을 조사하고 이를 적분하여 전체 물체의 거동을 파악합니다. 그래서 z를 0으로 보내어 미소한 단위까지 분석하는 것입니다.

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[고체역학] 고체역학 토크와 전단응력 관계 증명 중 수식 질문

고체역학은 물체가 외력을 받을 때의 변형과 응력을 연구하는 학문입니다. 특히 전단응력과 관련된 문제에서는 각변형률을 tan 값으로 나타내고, 극한(limit) 값을 사용하는 이유에 대해 자주 질문이 나옵니다. 이번 블로그에서는 이러한 질문에 대해 자세히 설명하고자 합니다.

먼저 전단응력(shear stress)와 각변형률(shear strain)의 관계를 살펴보기 위해, 전단응력이 가해졌을 때 물체가 어떻게 변형되는지 이해해야 합니다.

위의 그림에서 볼 수 있듯이, 전단응력은 물체의 한 면에 평행하게 가해지는 힘입니다. 이로 인해 물체는 변형되며, 이는 각변형률로 표현할 수 있습니다. 이 때 각변형률은 변형 전과 변형 후의 각도의 차이로 정의됩니다.

각변형률을 tan 값으로 나타내는 이유

각변형률은 변형 전의 수직 상태와 변형 후의 변위 사이의 각도로 정의됩니다. 이 각도를 θ라고 할 때, 작은 각도의 경우 tan(θ) ≈ θ라는 선형 근사를 사용할 수 있습니다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

1. 전단응력에 의해 변형된 길이를 \( \Delta x \)라 하고, 원래 길이를 \( L \)이라 할 때, 변형된 각도 \( \theta \)는 다음과 같이 정의됩니다.
2. \( \theta \approx \tan(\theta) = \frac{\Delta x}{L} \)

수학적으로 매우 작은 각도에서는 \( \tan(\theta) \approx \theta \) 근사가 적용되기 때문에, 각변형률을 tan 값으로 나타내는 것이 유리합니다.

Limit 극한 값을 사용하는 이유

연속체 역학에서는 물체를 매우 작은 단위로 나누어 분석합니다. 이 때, 미세한 단위(dz)로 쪼개서 각 변형률을 조사하고 이를 적분하여 전체 물체의 거동을 파악합니다. 이를 수학적으로 표현하기 위해 극한(limit) 개념을 사용합니다.

1. 미소 단위에서의 변형률을 조사하기 위해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:
2. \( \lim_{dz \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{dz} \)

이와 같이 미소 단위로 쪼개어 분석함으로써, 전체 물체의 응력과 변형을 보다 정확하게 계산할 수 있습니다.

왜 z를 0으로 보내는가?

극한값을 사용하여 변형률을 계산할 때, z를 0으로 보내는 것은 변형률을 미소 단위까지 세밀하게 분석하기 위함입니다. 이는 다음과 같이 설명할 수 있습니다:

1. z를 0으로 보내는 것은 미소한 단위까지 분석함을 의미합니다.
2. 이로 인해 전체 물체의 거동을 보다 정확하게 계산할 수 있습니다.

따라서 z를 0으로 보내어 변형률을 조사하는 것은 연속체 역학에서 매우 중요한 과정입니다.

마무리

이번 블로그에서는 전단응력과 각변형률의 관계에서 왜 각변형률을 tan 값으로 나타내고, 극한(limit) 값을 사용하는지, 그리고 왜 z를 0으로 보내는지에 대해 설명했습니다. 연속체 역학에서는 미소 단위로 분석하여 전체 물체의 거동을 정확히 파악하는 것이 중요합니다. 이를 위해 극한 개념과 tan 근사가 유용하게 사용됩니다. 더 궁금한 사항이 있다면 댓글로 질문해 주세요!

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