[반도체] 슈뢰딩거 방정식 (semiconductor, Schrodinger equation, complex numbers, Euler's formula, Kronig-Penney model, mathematics, physics equations, cosine, sine, exponential function)

질문 요약

안녕하세요. 강의 1강-4강을 복습하면서 강의 내용과 전공교재의 수식 표기 방법이 달라서 질문드립니다. 첨부된 사진의 수식이 다른 의미인지 같은 의미인지 궁금합니다. 만약 다른 의미라면 수식으로 설명 부탁드립니다. (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1LDH3drnyU4GODCorjvkOrub2NBqgYM3i)

답변 요약

첨부된 사진을 보니 cos과 sin으로 나타내는 방법과 exp(ikx)로 나타내는 방법의 차이에 대해 질문하신 것 같습니다. 오일러 공식에 따르면 exp(ix)=cosx+isinx, exp(-ix)=cosx-isinx로 변환할 수 있습니다. 크로니히-페니 모델의 경우 각각의 미지수가 무엇을 의미하는지 이해하는 것이 중요합니다. 미지수를 대응시키는 연습을 해보시고, 추가로 궁금한 점이 있으면 다시 질문해주세요.

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[반도체] 슈뢰딩거 방정식

안녕하세요. 이번 포스팅에서는 슈뢰딩거 방정식에 대해 다루어보겠습니다. 특히, 한 학생이 강의 내용과 전공교재의 수식 표기 방법이 달라서 이를 비교하고 이해하는 과정에서의 궁금증을 해결해 보도록 하겠습니다.

질문에서 첨부된 이미지도 첨부해 드립니다.

질문 내용 요약

질문자는 cos과 sin으로 나타내는 방법과 exp(ikx)로 나타내는 방법의 차이에 대해 궁금해합니다. 오일러 공식을 사용해서 이를 변환할 수 있는 방법과 그 의미를 알고 싶어합니다.

오일러 공식

오일러 공식은 복소수와 삼각함수 사이의 중요한 관계를 나타냅니다. 이 공식은 다음과 같이 주어집니다:

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

따라서, 음수의 지수도 변환할 수 있습니다:

\[ e^{-ix} = \cos x - i \sin x \]

이 두 가지 공식을 통해 복소 지수 함수가 삼각 함수로 변환될 수 있음을 알 수 있습니다. 이를 이용해 exp(ikx)와 cos(kx), sin(kx) 간의 관계를 이해할 수 있습니다.

수식 변환의 예

exp(ikx)를 삼각함수로 변환하면 다음과 같습니다:

\[ e^{ikx} = \cos(kx) + i \sin(kx) \]

마찬가지로, exp(-ikx)를 변환하면:

\[ e^{-ikx} = \cos(kx) - i \sin(kx) \]

크로니히-페니 모델과 슈뢰딩거 방정식

크로니히-페니 모델은 반도체 물리학에서 중요한 역할을 합니다. 이 모델에서는 전자의 파동함수를 구하는데, 슈뢰딩거 방정식을 사용합니다. 전자의 파동함수는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

\[ \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \]

위 수식을 삼각 함수로 변환하면 다음과 같습니다:

\[ \psi(x) = A (\cos(kx) + i \sin(kx)) + B (\cos(kx) - i \sin(kx)) \]

이를 통해 A와 B의 계수를 조정하여 원하는 형태의 파동함수를 얻을 수 있습니다.

결론

질문에서 언급된 cos과 sin으로 나타내는 방법과 exp(ikx)로 나타내는 방법은 본질적으로 같은 의미를 가집니다. 오일러 공식을 사용하면 두 가지 방법을 쉽게 변환할 수 있습니다. 크로니히-페니 모델을 이해하는 데 있어서 중요한 점은 각 미지수가 무엇을 의미하는지 파악하는 것입니다. 이를 통해 전자의 파동함수를 더 잘 이해할 수 있습니다.

추가로 궁금한 점이 있으시면 언제든지 질문해 주세요. 강의 내용과 교재를 비교하면서 학습하는 과정에서 도움을 드릴 수 있도록 노력하겠습니다.

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