자동제어 7강 질문 (Automatic Control, Stability Analysis, Routh Criterion, Control Theory, Pole Analysis, Stability in Control Systems)

질문 요약

1. 안정성 분석에서 rouths stability criterion 계산시 e값에 따라 바로 위 2개 행을 사용하지 않나요? 2. K와 Ki는 어떤 변수인가요? 3. pole이 허수 축에 있으면 시스템 상태는 어떤가요?

답변 요약

1. 계산 편의를 위해 한 줄에 공통 인수가 있으면 나누어 계산할 수 있습니다. 2. K와 Ki는 각각 비례 제어 상수와 적분 제어 상수를 의미합니다. 3. 허수 축에 있는 pole은 'marginally stable' 상태라고 부릅니다.

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자동제어 7강 질문

오늘은 자동제어 수업의 7강에서 나온 질문들에 대해 답변해보도록 하겠습니다. 이번 강의에서는 안정성 분석, 제어 상수, 그리고 시스템의 폴(pole) 위치에 따른 상태를 다룹니다. 이를 통해 제어 시스템의 안정성을 이해하는 데 도움이 되기를 바랍니다.

1. 안정성 분석에서 Routh의 안정성 기준 계산 시 e값에 따라 바로 위 두 개 행을 사용하지 않나요?

   Routh의 안정성 기준(Routh-Hurwitz Criterion)은 시스템의 안정성을 분석하는 데 중요한 도구입니다. 이 기준을 사용할 때, e 값(특성 방정식의 계수)에 따라 바로 위 두 개 행을 사용하여 새로운 행을 계산하게 됩니다. 예를 들어, n차 특성 방정식이 다음과 같다고 가정합니다:

   $$a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_1 s + a_0 = 0$$ 이 방정식에 대해 Routh 배열을 작성할 때, 첫 번째 행과 두 번째 행은 주어진 계수로 채워집니다. 그 후, 세 번째 행부터는 바로 위 두 개 행의 값을 사용하여 계산합니다. 이를 통해 시스템의 안정성을 판단할 수 있습니다.

   계산 과정에서 특정 행에 공통 인수가 존재하면, 계산의 편의를 위해 해당 인수로 나눠서 계산할 수 있습니다. 하지만 이 경우에도 원래의 Routh 배열과 동일한 결과를 얻어야 하므로, 계산 과정에서 주의가 필요합니다.

2. K와 Ki는 어떤 변수인가요?

   자동제어에서 K와 Ki는 제어 상수를 의미합니다. 제어 시스템에서 비례 제어 상수 K와 적분 제어 상수 Ki는 다음과 같은 역할을 합니다:

   • 비례 제어 상수 K: 비례 제어기(P Controller)에서 사용되며, 시스템의 오차에 비례하여 제어 신호를 생성합니다. 시스템의 응답 속도와 안정성에 영향을 미치는 중요한 변수입니다. 수식으로는 다음과 같이 표현됩니다:
     $$u(t) = K \cdot e(t)$$
   • 적분 제어 상수 Ki: 적분 제어기(I Controller)에서 사용되며, 시스템의 오차를 시간에 대해 적분하여 제어 신호를 생성합니다. 이는 시스템의 영구 오차를 제거하는 데 중요한 역할을 합니다. 수식으로는 다음과 같이 표현됩니다:
     $$u(t) = K_i \int e(t) \, dt$$

     비례 제어와 적분 제어를 결합한 비례-적분 제어기(PI Controller)는 다음과 같은 형태를 가집니다:

     $$u(t) = K \cdot e(t) + K_i \int e(t) \, dt$$

     이와 같은 제어기를 통해 시스템의 응답 특성을 개선할 수 있습니다.

3. Pole이 허수 축에 있으면 시스템 상태는 어떤가요?

   시스템의 폴(pole)이 허수 축에 위치하면, 해당 시스템은 'marginally stable' 상태라고 부릅니다. 이는 시스템이 안정도 불안정도 아닌 경계 상태에 있다는 것을 의미합니다. 즉, 시스템의 응답이 진동하지만 시간이 지나도 진폭이 커지거나 작아지지 않습니다.

   예를 들어, 특성 방정식의 근이 다음과 같은 경우를 고려해봅니다:

   $$s = j\omega \quad \text{또는} \quad s = -j\omega$$ 이 경우, 시스템의 시간 응답은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
   $$y(t) = A \sin(\omega t + \phi)$$

   여기서 A는 진폭, ω는 주파수, φ는 초기 위상입니다. 시스템의 응답이 위와 같은 형태라면, 이 시스템은 영원히 진동하는 상태를 유지하게 됩니다. 이러한 시스템은 외부의 작은 교란에 의해 불안정해질 수 있으므로, 실질적으로는 안정하지 않다고 볼 수 있습니다.

   따라서 제어 시스템을 설계할 때, 시스템의 폴이 허수 축에 위치하지 않도록 주의해야 합니다.

이상으로 자동제어 7강에서 나온 주요 질문들에 대해 답변을 드렸습니다. 안정성 분석과 제어 상수의 이해는 제어 시스템 설계에서 매우 중요합니다. 추가적인 질문이나 궁금한 점이 있다면 언제든지 문의해 주세요.

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