질문 요약
강의를 수강하고 강의 외의 벡터 관련 문제를 접하게 되었는데 잘 이해가 되지 않아 강의 내용을 복습해 보았는데 그래도 모르겠어서 질문 드립니다. 문제의 내용은 다음과 같습니다. '두 개의 벡터가 존재하고 두 벡터의 합 벡터가 차 벡터의 n배 (n은 1보다 큰 양의 정수) 클 때, 두 벡터 사이의 각도를 구하시오.' 합 벡터가 차 벡터의 정수배가 되려면 두 벡터의 방향이 나란할 때(사이 각도=0도) 혹은 두 벡터의 방향이 반대일 때(사이 각도=180도)밖에 성립하지 않는다고 얼핏 들은 것 같은데 그러면 위 문제의 경우 n>1인 정수이므로 사이각도=0으로 확정되는 건가요? 그리고 제가 얼핏 알고 있는 합벡터가 차벡터의 정수배가 되려면 두 벡터가 같은 방향이거나 반대 방향이어야 한다는 사실이 맞는지와 맞다면 왜 두 경우밖에 성립하지 않는지도 여쭙고 싶습니다.
답변 요약
안녕하세요. 이정욱 입니다. 질문하신 내용을 식 으로 옮겨 표현해보면 다음과 같습니다. (A+B) = n(A-B) ; (n-1)A= (n+1)B 에서 A=((n+1)/(n-1))B 입니다. 즉, n이 1보다 크다면 벡터 A와 B는 방향이 같고, A가 B 보다 크기가 크다는 것을 의미합니다. 만약 n이 1보다 작다면 A와 B가 반대방향임을 의미하게 됩니다. 질문하신 내용에서는 n이 1보다 크므로 둘 사잇각은 0도가 되는 것입니다.
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벡터의 합과 차가 정수배 관계일 때의 각도 해석
안녕하세요. 대학물리학 강의 관련하여 벡터에 대해 깊이 있는 질문을 주셔서 감사합니다. 벡터 문제를 해결하는 데 있어서 여러 가지 방법이 있지만, 여기서는 주어진 조건 "(A+B) = n(A-B)"를 활용하여 문제를 해석해 보겠습니다.
문제의 수학적 표현과 해석
두 벡터 A와 B에 대해 합 벡터와 차 벡터의 관계가 주어져 있습니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다:
- 합 벡터: \( \vec{A} + \vec{B} \)
- 차 벡터: \( \vec{A} - \vec{B} \)
- 주어진 조건: \( \vec{A} + \vec{B} = n(\vec{A} - \vec{B}) \)
위 식을 변형하면,
\[ (\vec{A} + \vec{B}) = n(\vec{A} - \vec{B}) \] \[ \vec{A} + \vec{B} = n\vec{A} - n\vec{B} \] \[ \vec{A} - n\vec{A} = -n\vec{B} - \vec{B} \] \[ (1-n)\vec{A} = -(n+1)\vec{B} \] \[ \vec{A} = \frac{-(n+1)}{1-n} \vec{B} \]이 식을 통해 볼 때, \( n \)이 1보다 클 경우, \( \vec{A} \)와 \( \vec{B} \)는 서로 같은 방향을 가지게 됩니다. 즉, 두 벡터는 같은 라인 위에 위치하며, 그 크기의 비는 \( \frac{n+1}{n-1} \)가 됩니다.
왜 두 벡터는 같은 방향이나 반대 방향을 가질까?
벡터의 합과 차가 서로 정수배의 관계에 있다는 것은 그 방향성에 대한 중요한 정보를 제공합니다. 벡터 A와 B가 서로 완전히 같은 방향이거나 반대 방향일 때만, 합 벡터와 차 벡터가 일직선상에 위치할 수 있으며, 이는 두 벡터가 평행하거나 반대임을 나타냅니다. 이것이 바로 합 벡터와 차 벡터가 정수배 관계를 가지는 유일한 경우입니다.
결론
따라서 문제에서 주어진 조건에 따르면, \( n > 1 \)이므로 두 벡터 \( \vec{A} \)와 \( \vec{B} \)는 같은 방향을 가리키고 있으며, 그 사이 각도는 0도입니다. 이러한 문제는 벡터의 방향성과 크기의 관계를 이해할 수 있는 좋은 예시로, 벡터의 합성과 분해에 대한 깊은 이해를 돕습니다.
물리학에서 벡터를 다루는 방식은 다양한 물리 현상을 이해하는 데 필수적인 도구입니다. 이 문제를 통해 벡터의 기본적인 개념과 더불어, 벡터의 합성과 분해가 실제 문제에서 어떻게 활용되는지에 대한 이해를 더욱 깊게 하셨기를 바랍니다.
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