[진동학] Harmonic Excitation of undaped systems에서 비제차항에 대한 물리적 설명 (- solution - system - Excitation)

질문 요약

비제차항인 f0cos(wt)에 대한 particular solution xp를 Xcos(wt)로 정한 후 풀이를 진행해 주셨는데 앞서 질문드린 경우에는 cos(wt-$)의 형태의 경우 sine과 cosine으로 분리가 되어 이해가 됐는데 사진의 경우 cos(wt)로 분리가 되지 않는데도 같은 방식으로 particular solution을 설정하는 이유가 궁금합니다!

답변 요약

xp(t) = Xcos(wt-theta)로 정의되어 있으며, damped systems에서는 Harmonic Excitation에서 확인할 수 있습니다. undamped systems에서는 forcing function과 같은 형태로 particular solution을 정의해줘도 괜찮습니다. 시스템이 단순해서 같은 형태로 가정해도 솔루션이 잘 나오기 때문입니다. damping이 없이 spring만 있는 경우에는 elastic 거동만을 할 것으로 간주될 수 있기 때문에 큰 위상차가 없을 것으로 예상됩니다.

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진동학에서 비제차항의 물리적 설명: Harmonic Excitation of Undamped Systems

진동학에서 감쇠가 없는 시스템(undamped systems)의 조화 외력(harmonic excitation)에 대한 응답을 이해하는 것은 기계공학, 물리학, 건축공학 등 여러 분야에서 중요합니다. 특히 비제차항(nonhomogeneous term)에 해당하는 \( f_0 \cos(\omega t) \)와 같은 형태의 외력이 시스템에 가해질 때, 시스템의 응답을 어떻게 모델링하는지는 매우 중요한 주제입니다. 본 글에서는 이러한 비제차항에 대한 particular solution을 \( X \cos(\omega t) \)로 설정하는 이유와 물리적 의미에 대해 설명하겠습니다.

비제차항 \( f_0 \cos(\omega t) \)은 시간에 따라 변화하는 외부에서 가해지는 조화적인 힘을 나타내며, 이 힘에 의해 시스템은 강제 진동(forced vibration)을 하게 됩니다. 이 경우, 시스템의 특정 해(particular solution) \( x_p(t) \)를 찾아서 전체 시스템의 응답을 구해야 합니다. 여기서 중요한 점은 비제차항의 형태와 particular solution의 형태가 일치해야 한다는 것입니다.

감쇠가 없는 시스템에서는 시스템에 가해진 외력의 형태를 그대로 따르는 particular solution을 생각할 수 있습니다. 즉, 외력이 \( f_0 \cos(\omega t) \) 형태를 가지므로, 특정 해도 같은 형태인 \( X \cos(\omega t) \)로 가정하는 것이 타당합니다. 감쇠가 있는 시스템(damped systems)에서는 특정 해를 \( X \cos(\omega t - \theta) \)와 같이 위상차가 있는 형태로 가정하곤 하는데, 이는 감쇠 요소가 외력과 시스템 응답 사이에 위상 차이를 만들어내기 때문입니다. 그러나 감쇠가 없는 경우에는 이러한 위상 차이가 발생하지 않거나 무시할 정도로 작기 때문에, 위상차 없이 \( X \cos(\omega t) \)로 particular solution을 설정합니다.

이러한 particular solution을 설정한 후에, 우리는 시스템의 운동 방정식에 대입하여 계수 \( X \)를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 감쇠가 없고 단일 질량 \( m \), 스프링 상수 \( k \)를 가진 시스템의 운동 방정식은 다음과 같습니다:

\[ m \ddot{x} + kx = f_0 \cos(\omega t) \]

여기서 \( \ddot{x} \)는 질량의 가속도를 나타냅니다. 이 운동 방정식에 particular solution \( x_p(t) = X \cos(\omega t) \)를 대입하면, 다음과 같이 정리할 수 있습니다:

\[ -m\omega^2 X \cos(\omega t) + kX \cos(\omega t) = f_0 \cos(\omega t) \]

이를 정리하면, 다음과 같은 형태로 \( X \)를 구할 수 있습니다:

\[ X = \frac{f_0}{k - m\omega^2} \]

결과적으로, 감쇠가 없는 시스템에서는 외력의 주파수에 따라 시스템 응답의 진폭이 결정되며, 이 때 시스템의 고유 주파수와 외력의 주파수가 일치하면 공진(resonance) 현상이 발생하여 시스템의 응답이 매우 큰 값을 가지게 됩니다.

이러한 과정을 통해 우리는 감쇠가 없는 시스템의 강제 진동 해석에서 비제차항에 대한 particular solution을 설정하는 물리적 이유와 그 과정을 이해할 수 있습니다. 이는 직관적으로도 시스템이 감쇠 요소 없이 탄성적으로만 거동할 때, 외부 힘에 의한 응답이 같은 주파수를 가지게 될 것이라는 것을 예상할 수 있음을 보여줍니다.

진동 시스템의 분석은 다양한 공학 분야에서 중요한 역할을 하며, 이러한 이론적인 배경은 실제 엔지니어링 문제 해결에 있어 필수적인 기초가 됩니다. 감쇠가 없는 시스템의 조화 외력에 대한 응답을 이해하는 것은, 예를 들어 다리나 건물과 같은 구조물의 설계, 기계의 진동 제어, 재료의 피로 실험 등 다양한 응용 분야에서 그 중요성이 강조됩니다.

이상으로 감쇠가 없는 시스템에서 비제차항에 대한 물리적 설명과 particular solution을 설정하는 이유에 대해 알아보았습니다. 질문자님의 궁금증이 해결되었기를 바랍니다.

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