[일반물리학] [할리데이] 벡터의 내적과 외적 관련 (Vector A, Vector B, Vector C, cross product, dot product, orthogonal)

질문 요약

벡터A · (벡터A x 벡터B) = 0인 이유를 설명해주세요.

답변 요약

벡터 C는 벡터 A와 벡터 B의 외적 결과로 얻어지며, 벡터 A와 벡터 C의 내적은 0이 됩니다. 이는 두 벡터가 서로 직교하기 때문입니다.

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벡터의 내적과 외적 이해하기

벡터의 연산에는 여러 가지가 있는데, 그 중에서도 벡터의 내적과 외적은 물리학뿐만 아니라 수학, 공학 등 여러 분야에서 널리 사용되는 중요한 개념입니다. 벡터의 내적과 외적은 각각 다른 조건과 성질을 가지고 있으며, 이를 이해하는 것은 물리학을 비롯한 여러 과학적 문제를 해결하는 데 필수적입니다.

벡터의 내적(Scalar Product)

벡터의 내적은 두 벡터 간의 스칼라 곱이라고도 불리며, 다음과 같은 수학적 표현으로 나타낼 수 있습니다.

\[ 벡터A \cdot 벡터B = |벡터A| |벡터B| \cos\theta \]

여기서 |벡터A|와 |벡터B|는 각각 벡터 A와 B의 크기를 나타내고, \( \theta \)는 두 벡터 사이의 각도입니다. 내적의 결과는 스칼라 값이며, 두 벡터가 이루는 각도에 따라 그 값이 달라집니다. 특히, 두 벡터가 직교할 경우 즉, \( \theta = 90^\circ \)일 때, \(\cos\theta\)는 0이 되므로 내적의 값도 0이 됩니다.

벡터의 외적(Vector Product)

벡터의 외적은 두 벡터에 수직인 새로운 벡터를 생성하는 연산입니다. 외적의 수학적 표현은 다음과 같습니다.

\[ 벡터A \times 벡터B = |벡터A| |벡터B| \sin\theta \times 단위벡터n \]

여기서 \( \sin\theta \)는 두 벡터 A와 B가 이루는 각의 사인값을 의미하고, 단위벡터 n은 벡터 A와 B에 모두 수직인 방향을 가리킵니다. 외적의 결과로 얻어지는 벡터는 항상 두 벡터에 수직인 벡터가 됩니다.

벡터A · (벡터A x 벡터B) = 0인 이유

위에서 설명한 내적과 외적의 성질을 바탕으로 벡터A와 (벡터A x 벡터B)의 내적이 0이 되는 이유를 쉽게 설명할 수 있습니다. 벡터 A와 벡터 B의 외적으로 생성된 벡터를 벡터 C라고 할 때, 즉 벡터 C = 벡터A x 벡터B라고 할 때, 벡터 C는 벡터 A와 벡터 B에 모두 수직인 벡터입니다. 따라서 벡터 A와 벡터 C는 수직 관계, 즉 직교하게 됩니다.

내적의 정의에 따르면, 두 벡터가 직교하면 그 내적은 0이 됩니다. 따라서 벡터A와 벡터C의 내적, 즉 벡터A · (벡터A x 벡터B)는 0이 됩니다. 이는 벡터의 내적과 외적의 기본적인 성질에 바탕을 둔 결과입니다. 이러한 성질은 벡터가 공간에서 어떻게 배치되고 상호 작용하는지를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.

결론

결론적으로, 벡터A · (벡터A x 벡터B) = 0인 이유는 벡터 A와 벡터 A x 벡터 B가 서로 직교하기 때문입니다. 이와 같은 벡터의 성질은 물리학을 포함한 다양한 과학 분야에서 벡터를 다루는 데 필수적인 개념입니다. 따라서 벡터의 내적과 외적을 정확히 이해하는 것은 물리학을 비롯하여 공학과 수학에서 중요한 기본 지식이라 할 수 있습니다.

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