[통계학] 예제 8-5번에서의 표본분산 풀이 방법에 대한 이해 요청 (sample variance, certain value, probability, chi-square statistic, normal distribution population, mean, variance, degrees of freedom, chi-square distribution table)

질문 요약

예제 8-5번에서 표본분산이 특정 값 이상 나올 확률과 카이제곱 통계량을 이용한 풀이의 관계에 대해 설명 부탁드립니다. 예제 8-6, 8-7에서도 비슷한 논리가 적용되는지 궁금합니다.

답변 요약

문제 예제 8-5에서 X~N(170, 82)인 정규분포 모집단을 가정했을 때, 이는 평균이 170이고 분산(σ2)이 82인 모집단을 의미합니다. σ는 8입니다. 문제의 (2) 항에서는 표본분산 S2이 특정한 값 이상이 될 확률이 2.5%일 때의 S2 값을 묻고 있습니다. 이를 계산하기 위해서는 자유도 ν가 19일 때 카이제곱 분포표에서 χ2 0.025, 19 값을 찾아야 하는데, 이 값은 32.852입니다. 예제 8-6과 8-7도 유사한 방식으로 계산합니다. 참조할 수 있는 카이제곱분포표 해석 방법은 16강 카이제곱분포표 보는 법(20:50) 영상에 나와 있습니다.

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[통계학] 예제 8-5번에서의 표본분산 풀이 방법에 대한 이해

안녕하세요, 통계학을 공부하시는 분의 질문에 답변드리겠습니다. 교재 예제 8-5번 문제에서의 표본분산 S^2이 특정한 값 이상 나올 확률을 알아내는 과정은 처음에 다소 복잡하게 느껴질 수 있습니다. 하지만 이 과정은 표본분산의 분포와 카이제곱 분포 간의 관계를 이해하면 명확해집니다. 이해를 돕기 위해 구체적인 단계별 풀이 방법을 설명해 드리겠습니다.

표본분산과 카이제곱 분포의 관계

우선, 모집단이 정규분포를 따른다고 가정할 때, 표본분산 S^2가 어떻게 카이제곱 분포와 관련되는지 알아보겠습니다. 표본분산 S^2은 표본에서 얻은 분산 값이며, 표본의 크기가 n이고 표본분산을 모분산(σ^2)으로 나눈 값 (n-1)S^2/σ^2은 자유도가 n-1인 카이제곱 분포를 따르게 됩니다. 이 관계를 사용하면, 표본분산 S^2이 특정 값 이상이 될 확률을 카이제곱 분포를 통해 계산할 수 있습니다.

문제 8-5번의 풀이 방법

문제에서 주어진 바에 따르면, X는 평균이 170이고 분산이 82인 정규분포를 따르는 모집단으로부터 추출된 표본이고, 표본의 크기 n은 20입니다. 따라서 자유도 ν는 n-1, 즉 19가 됩니다.

문제에서는 표본분산 S^2이 특정 값 이상이 될 확률이 2.5%인 경우를 묻고 있습니다. 이는 카이제곱 분포 상에서 우측 꼬리에 해당하는 확률입니다. 즉, 카이제곱 분포표에서 자유도가 19일 때 상위 2.5%에 해당하는 카이제곱 값(χ^2 0.025, 19)을 찾아야 합니다. 이 값은 32.852로 주어져 있습니다.

이제, 주어진 카이제곱 값으로부터 표본분산 S^2의 값을 구해야 합니다. 카이제곱 값은 (n-1)S^2/σ^2로 계산되므로, 이를 S^2에 대해 풀면 다음과 같은 식으로 계산됩니다.

• χ^2 = (n-1)S^2/σ^2
• S^2 = (χ^2 * σ^2) / (n-1)

여기서 σ^2은 모분산 즉, 82이고, n-1은 자유도인 19입니다. 따라서 S^2는 다음과 같이 계산됩니다.

• S^2 = (32.852 * 82) / 19
• S^2 = 142.293

이렇게 계산된 S^2 값은 표본분산이 특정 값 이상이 될 확률이 2.5%인 경우의 표본분산 값이 됩니다.

추가 자료

예제 8-6과 8-7에서도 비슷한 논리가 적용됩니다. 참조할 수 있는 카이제곱분포표 해석 방법은 16강 카이제곱분포표 보는 법(20:50) 영상에서 확인하실 수 있습니다. 키워드에 따라 더 심층적인 이해를 돕고자 하는 내용을 찾으실 때 해당 영상이 도움이 될 것입니다.

이상으로 표본분산 S^2 계산에 대한 질문에 대한 답변을 마칩니다. 통계학적 개념과 계산 과정을 이해하는 것은 쉽지 않지만, 이러한 기본적인 원리를 익히는 것이 통계학을 잘 이해하는 데 큰 도움이 됩니다. 추가적인 질문이 있으시면 언제든지 문의해 주세요.

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