함수 f(x)=|x|/x의 x=0에서의 정의 여부 (mathematics, calculus, function, limits, continuity, algebra)

질문 요약

f(x)=|x|/x의 좌우 극한값이 달라 x=0에서 극한값이 존재하지 않는 것은 이해했습니다. 그런데 x=0에서 함숫값이 존재하지 않는 이유는 무엇인가요? (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/148JBFugY36lqaqOf_Qd-okANjU-2eswD)

답변 요약

f(x)=|x|/x의 경우, 분모가 x이기 때문에 x=0을 대입하면 분모가 0이 되어 분수가 성립할 수 없습니다. 따라서 함수 f(x)는 x=0에서 정의되지 않습니다.

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함수 f(x)=|x|/x의 x=0에서의 정의 여부

함수 f(x) = |x|/x는 수학에서 흔히 등장하는 절댓값 함수를 포함한 분수 함수입니다. 이 함수에 대해 x=0에서 정의 여부를 살펴보겠습니다. 이 과정에서 우리는 극한, 분수 정의, 그리고 함수의 연속성에 대해 이해할 필요가 있습니다.

함수의 정의와 극한

먼저, f(x) = |x|/x가 어떤 함수인지 이해해 보겠습니다. 이 함수는 x의 부호에 따라 다르게 정의됩니다.

• f(x) = 1, if x > 0
• f(x) = -1, if x < 0

여기서 x = 0인 경우를 보면, 함수의 정의는 명시되어 있지 않습니다. 따라서 함수가 x=0에서 정의될 수 있는지를 확인하기 위해 극한을 살펴보아야 합니다.

x=0에서의 극한

함수의 극한을 조사할 때, 좌극한과 우극한을 각각 계산해 보겠습니다.

1. 좌극한: \[ \lim_{{x \to 0^-}} f(x) = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{|x|}{x} = \lim_{{x \to 0^-}} \frac{-x}{x} = -1 \]
2. 우극한: \[ \lim_{{x \to 0^+}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{|x|}{x} = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{x}{x} = 1 \]

위의 결과에서 볼 수 있듯이, 좌극한과 우극한이 서로 다르기 때문에 x=0에서 함수의 극한이 존재하지 않습니다.

x=0에서의 정의 여부

그렇다면, 함수가 x=0에서 정의되지 않는 이유는 무엇일까요? 이는 함수의 분모가 x이기 때문입니다. x=0을 대입하게 되면, 분모가 0이 되어 수학적으로 분수는 정의되지 않습니다:

• f(x) = |x|/x에서 x=0을 대입하면 분모가 0이 되어 계산 불가능

이와 같은 이유로, 함수 f(x)는 x=0에서 정의되지 않으며, 따라서 이 점에서의 연속성이나 미분 가능성 또한 논의할 수 없습니다.

결론

함수 f(x) = |x|/x는 x=0에서 정의되지 않습니다. 이는 분모가 0이 되어 함숫값을 계산할 수 없기 때문이며, 좌우 극한값이 다르기 때문에 극한값도 존재하지 않습니다. 이러한 수학적 논리는 함수의 정의와 극한을 이해하는 데 중대한 역할을 합니다.

이러한 함수의 특성을 이해하는 것은 미적분학과 같은 고급 수학을 공부할 때 중요한 기초가 됩니다. 함수의 정의 영역에서 제외된 점을 다루는 것은 함수의 연속성과 미분 가능성을 논의할 때 필수적인 부분입니다.

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