복소수의 위상계산에서 실수부가 음수인 경우 처리 방법 (complex numbers, phase calculation, negative real part, complex plane, arctan function, algebra mathematics)

질문 요약

복소수 Z=4-x^2 + j2x의 실수부가 양수, 음수, 0일 때 나누어서 풉니다. 실수부가 음수일 때(x>2 또는 x<-2), π를 더하는데 arctan 함수에 -1을 곱해도 되는지 궁금합니다. 실수부가 음수일 때 -1을 곱하여 양수로 만든 후 π를 더하는 것과 -1을 곱하는 것이 같은 결과인지 알고 싶습니다.

답변 요약

실수부가 음수이므로 위상 계산 시 π를 더하거나 빼는 것으로 처리해야 합니다. 교재 130쪽의 예를 보면, -1+j에 대해 arctan(1/-1)=-45°로 계산하고 여기에 -1을 곱하면 45°가 되어 -1+j의 정확한 위상인 135°가 나오지 않습니다. 복소수의 위상계산은 강의에서 설명한 대로 ∠AB=∠A+∠B와 ∠(B/A)=∠B-∠A의 관계식을 활용해야 합니다. 예를 들어, -1+j를 -1*(1-j)로 보고 ∠(-1+j)=∠(-1)+∠(1-j)=π+arctan(-1)=π-π/4=3π/4로 계산합니다.

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복소수의 위상계산에서 실수부가 음수인 경우 처리 방법

복소수는 수학과 공학에서 매우 중요하게 사용되는 수의 한 형태입니다. 복소수는 실수부와 허수부로 구성되어 있으며, 이를 통해 다양한 수학적 문제를 해결할 수 있습니다. 복소수의 위상 계산은 특히 복소평면에서의 각도를 구하는 데 사용됩니다. 이번 글에서는 복소수 Z=4-x² + j2x의 실수부가 양수, 음수, 0일 때 나누어 처리하는 방법과 실수부가 음수일 때의 위상 계산에 대해 알아보겠습니다.

복소수 Z=4-x² + j2x의 위상 계산

복소수 Z=4-x² + j2x는 다음과 같이 정의됩니다:

• 실수부: 4-x²
• 허수부: 2x

복소수의 위상(또는 각도)은 다음과 같은 arctan 함수를 이용하여 계산할 수 있습니다:

$$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{\text{허수부}}{\text{실수부}}\right)={\tan }^{-1}\left(\frac{2x}{4-x^2}\right)$$

하지만 실수부가 음수일 때는 추가적인 처리가 필요합니다. 실수부가 음수라면, 복소수의 위상은 일반적으로 π를 더하거나 빼는 방식으로 조정해야 합니다.

실수부가 양수, 음수, 0일 때의 위상 계산

1. 실수부가 양수일 때 (4-x² > 0): 이 경우, 일반적인 arctan 계산을 통해 위상을 구하면 됩니다. 즉, $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{2x}{4-x^2}\right)$.
2. 실수부가 0일 때 (4-x² = 0): 이 경우, 복소수는 실수 축과 수직으로 위치하게 됩니다. 따라서 위상은 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 또는 $\theta =\frac{3\pi }{2}$이 됩니다. 이는 x의 부호에 따라 결정됩니다.
3. 실수부가 음수일 때 (4-x² < 0): 이 경우, 실수부가 음수이므로 π를 추가해야 합니다. 계산은 다음과 같이 진행됩니다:

$$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{2x}{4-x^2}\right)+\pi$$

여기서 중요한 점은 arctan 함수의 결과에 π를 더하는 것입니다. 이는 복소수의 실수부가 음수일 때, 복소평면에서 180도 회전을 나타냅니다.

arctan 함수에 -1을 곱하는 경우

질문에서는 arctan 함수에 -1을 곱하여 위상을 계산해도 되는지 묻고 있습니다. 그러나 이는 올바른 계산 방법이 아닙니다. arctan 함수의 값에 -1을 곱하면, 단순히 각도의 부호만 반전되므로 실제로 복소수의 올바른 위상 회전을 나타내지 못합니다.

예를 들어, 복소수 -1+j의 위상을 계산할 때, arctan(1/-1)=-45°로 계산됩니다. 이 값에 -1을 곱하면 45°가 되는데, 이는 실제 위상인 135°와는 다릅니다. 따라서 실수부가 음수인 경우에는 arctan 함수의 결과에 단순히 π를 더하는 것이 올바른 계산 방법입니다.

결론

복소수의 위상 계산에서 실수부가 음수인 경우, π를 더하여 위상을 조정하는 것이 중요합니다. 이는 복소평면에서의 올바른 각도 회전을 반영하기 위함입니다. arctan 함수의 결과에 -1을 곱하는 것은 잘못된 결과를 초래할 수 있으며, 복소수의 정확한 위상을 계산하는 데 사용되어서는 안 됩니다. 복소수의 위상계산은 수학적 원리에 따라 신중하게 처리되어야 하며, 이를 통해 정확한 해석과 결과를 얻을 수 있습니다.

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