[공업열역학] 미분 관련 질문 (thermodynamics, calculus, differential, mass division, system state, entropy)

질문 요약

10강 7분 37초에 교수님께서 m으로 나눈 후 미분의 형태로 써주면 A4용지 사진의 1번 과정과 같이 나온다고 하셨는데, ①번식에서 ②번으로 갈 때 m으로 나눈 후에 미분을 해준다는 것의 의미를 잘 모르겠습니다. 2번과 같이 du, dq는 질량으로 나눠진 흔적은 없고 미분 기호가 붙었는데, 왜 U는 미분 기호가 없고 단지 질량만이 나눠진 것인가요? (질문 시 사용한 이미지: https://lh3.googleusercontent.com/d/1o6ALRd-Rr089qbZAF117PauAQY2BLXiz)

답변 요약

안녕하세요. 대문자로 쓰여진 U 또는 Q는 전체 시스템의 상태량값입니다. 질량을 나눈 후에는 소문자의 형태로 써집니다. 한 가지 과정이 생략되어서 헷갈리신 것 같습니다. dU = dQ - PdV (질량으로 나누면) du = dq - Pdv가 되며, 이 과정을 적분하면 u 또는 q로 표현할 수 있습니다. 처음이라서 조금 어려워 하신 것 같습니다. 아래의 영상이 열역학 1법칙을 이해하는 데 많은 도움이 될 것입니다. https://youtu.be/I7lV_tN82pM

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공업열역학에서의 미분과 적분 이해하기

공업열역학을 공부하는 과정에서 미분과 적분의 개념을 올바르게 이해하는 것은 매우 중요합니다. 특히, 시스템의 상태량을 다룰 때는 전체 시스템의 상태량을 나타내는 대문자와 질량으로 나눈 상태량을 나타내는 소문자 사이의 차이를 명확히 이해해야 합니다. 이번 블로그에서는 A4 용지 사진의 예시를 통해 이 개념을 이해해 보도록 하겠습니다.

미분의 형태와 의미

우선, 교수님께서 설명하신 질량으로 나눈다는 의미를 이해하기 위해서는 열역학 1법칙에 대해 알아야 합니다. 열역학 1법칙은 다음과 같이 표현됩니다:

\[ dU = dQ - PdV \]

여기서 \(U\)는 내부 에너지를, \(Q\)는 열을, \(P\)는 압력을, \(V\)는 부피를 나타냅니다. 이 식에서 중요한 점은 각 상태량이 전체 시스템을 기준으로 표현된다는 것입니다. 이제 이 식을 질량 \(m\)으로 나누어 보겠습니다:

\[ \frac{dU}{m} = \frac{dQ}{m} - P \frac{dV}{m} \]

이때, \( \frac{dU}{m} \), \( \frac{dQ}{m} \), 그리고 \( \frac{dV}{m} \)는 각각 단위질량당 내부 에너지 (\(u\)), 단위질량당 열 (\(q\)), 단위질량당 부피 (\(v\))로 나타낼 수 있습니다. 따라서 식은 다음과 같이 간단하게 표현됩니다:

\[ du = dq - Pdv \]

여기서 소문자 \(u\), \(q\), \(v\)는 각각 단위질량당 내부 에너지, 단위질량당 열, 단위질량당 부피를 나타냅니다. 그렇기 때문에 이 식은 질량을 나눈 후의 미분 형태를 나타낸 것입니다.

질문에 대한 답변

질문자께서 언급하신 바와 같이, \(dU\)와 \(dQ\)는 질량으로 나눠진 흔적이 없고 미분 기호가 붙어 있습니다. 그 이유는 전체 시스템의 상태량을 나타내기 때문입니다. 반면, \(u\)는 질량으로 나눈 후의 상태량을 나타내기 때문에 소문자로 표현되고, 이 경우 미분 기호 없이 단순히 상태량의 변화를 나타낼 수 있습니다.

예를 들어, 열역학 1법칙을 전체 시스템 관점에서 보면 다음과 같습니다:

\[ dU = dQ - PdV \]

이 식을 질량 \(m\)으로 나누면 다음과 같이 변합니다:

\[ du = dq - Pdv \]

이 과정을 통해 각 상태량이 질량으로 나누어진 후의 표현이 어떻게 변화하는지 이해할 수 있습니다. 이는 단위질량당 상태량을 계산할 때 유용하며, 전체 시스템의 상태량과 구분할 수 있습니다.

적분을 통한 상태량 계산

미분된 형태로 표현된 열역학 1법칙을 적분하면, 상태량을 구할 수 있습니다. 예를 들어, \(du\)를 적분하면 단위질량당 내부 에너지 \(u\)를 얻을 수 있습니다:

\[ u = \int du \]

마찬가지로, \(dq\)를 적분하면 단위질량당 열 \(q\)를 얻을 수 있습니다:

\[ q = \int dq \]

이러한 적분 과정을 통해 주어진 열역학 시스템의 상태량을 구체적으로 계산할 수 있습니다. 이를 통해 시스템의 변화를 예측하고, 에너지 전달 과정을 이해할 수 있습니다.

요약

• 열역학 1법칙은 \(dU = dQ - PdV\)로 표현됩니다.
• 질량 \(m\)으로 나누면 단위질량당 상태량으로 변환됩니다: \(du = dq - Pdv\).
• \(dU\)와 \(dQ\)는 전체 시스템의 상태량을 나타내며, 질량을 나눈 후에는 소문자로 표현됩니다.
• 미분 후 적분을 통해 상태량을 계산할 수 있습니다.

이 블로그가 공업열역학을 공부하는 데 도움이 되기를 바랍니다. 질문이 더 있으시다면 언제든지 댓글로 남겨주세요!

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