동역학 강의 내 각운동량 및 운동에너지 공식의 이해 (Dynamics, Rigid body, Angular momentum, Cross product, Kinematics, Mechanical energy)

질문 요약

교수님께서 다른 강의에서 Σmiρi=0라고 하셨는데, 22강에서는 왜 Σρi x miri=0만 지우지 않으셨는지 궁금합니다. 또한 예제에서 비강체(nonrigidbody) 공식을 사용하여 운동에너지를 구하는 방법이 이해가 안 됩니다. 예제에서는 물체 간 거리가 변하지 않는데 왜 이 공식을 사용하셨는지 알고 싶습니다. 질문 시 사용한 이미지: [이미지1](https://lh3.googleusercontent.com/d/10e2tuoheGshlqsbDYigRyRcYYOT2B-Ii) [이미지2](https://lh3.googleusercontent.com/d/1vPI_ddBY_SGcWNjsKREUtdPqx2HZK52k)

답변 요약

Σρi x miri 식의 경우, r에 붙은 subscript i 때문에 Σ의 영향을 받습니다. 하지만 Σρi X mir=0일 때에는 r에 subscript i가 없어서 Σ와 무관합니다. cross product에서 Σ는 결합 법칙이 성립하므로 스칼라 값 m을 외적 기호 앞으로 이동시킬 수 있습니다. 따라서 Σ(ρi X mir) = Σ(ρimi) X r = 0이 됩니다. ri가 아닌 r인 경우 Σ의 외부로 r을 이동시켜도 문제가 없으며, ∑(ρimi) 값을 먼저 계산할 수 있습니다. 그러나 ri인 경우에는 시그마의 영향을 받고 Σ 외부로 이동할 수 없습니다. 이런 경우, ∑(ρi X miri) ≠ ∑(ρimi) X ri이기 때문에 0이 아니며, 개별적으로 i부터 n까지 계산해야 합니다.

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동역학 강의 내 각운동량 및 운동에너지 공식의 이해

동역학 강의에서는 다양한 공식과 개념을 통해 물체의 운동을 설명합니다. 특히 각운동량과 운동에너지는 중요한 개념으로, 이를 이해하는 것은 물리학 전공 학생들에게 필수적입니다. 이번 포스트에서는 Σmiρi=0 공식과 Σρi x miri=0 공식을 중심으로 설명하며, 비강체(nonrigid body) 운동에너지 계산의 의문점을 해결해 보겠습니다.

각운동량의 이해: Σmiρi=0과 Σρi x miri=0의 차이

각운동량은 물체가 회전할 때 가지는 운동량을 의미합니다. 각운동량을 계산할 때 흔히 사용하는 공식이 Σmiρi=0입니다. 이 공식에서 mi는 질량, ρi는 위치 벡터를 나타냅니다. Σ를 통해 모든 입자의 합을 구합니다.

반면, Σρi x miri=0 공식은 각운동량의 다른 형태로, 여기서 'x'는 교차곱을 의미합니다. 교차곱을 사용할 때에는 벡터의 순서와 위치에 주의해야 합니다. 이 공식의 경우, r에 subscript i가 붙어 있는지 여부가 중요합니다.

• Σmiρi=0: 이 경우, 모든 입자의 위치 벡터의 총합이 0이라는 의미입니다. 이는 시스템의 무게중심이 원점에 있음을 나타냅니다.
• Σρi x miri=0: 이 공식은 각 입자의 위치 벡터와 질량, 그리고 회전 벡터의 교차곱의 합이 0임을 뜻합니다. r에 i가 붙어 있는 경우, 각 입자의 영향을 받아야 하므로 Σ와 무관하지 않습니다.

교차곱에서는 스칼라 값 m을 외적 기호 앞으로 이동시킬 수 있습니다. 따라서 Σ(ρi X mir) = Σ(ρimi) X r = 0이 됩니다. ri가 아닌 r인 경우 Σ의 외부로 r을 이동시켜도 문제가 없습니다. 하지만 ri가 있는 경우에는 각 입자가 개별적으로 영향을 받기 때문에 Σ 외부로 이동할 수 없습니다. 따라서 이 경우에는 각각의 i에 대해 개별적으로 계산해야 합니다.

비강체(nonrigid body) 운동에너지 계산

강체(rigid body)는 물체 내부의 각 지점 사이의 거리가 변하지 않는 물체를 말합니다. 반면 비강체는 내부의 거리가 변할 수 있는 물체를 의미합니다. 그러므로 비강체의 운동에너지를 계산할 때는 다른 접근이 필요합니다.

비강체의 운동에너지를 계산할 때 사용하는 일반적인 공식은 다음과 같습니다:

\[ T = \frac{1}{2} \sum_{i} m_i v_i^2 \]

여기서 \(v_i\)는 각 입자의 속도를 나타냅니다. 이 공식은 물체 내부에서의 거리 변화를 반영합니다. 예제에서 물체 간 거리가 변하지 않더라도 비강체 공식을 사용하는 이유는 물체가 외부 힘이나 회전에 의해 변형될 가능성이 있기 때문입니다.

예제를 통해 이해해보겠습니다. 만약 물체가 회전하고 있는 상황에서 내부의 거리가 변하지 않는다면, 여전히 비강체 공식을 사용할 수 있습니다. 이는 내부의 거리 변화가 없는 상태에서도 외부 힘에 의해 물체의 형태가 변형될 수 있기 때문입니다. 따라서 예제에서는 이러한 가능성을 고려하여 비강체 공식을 사용한 것입니다.

결론

동역학에서 각운동량과 운동에너지를 이해하는 것은 물리학의 기본을 이해하는데 필수적입니다. Σmiρi=0와 Σρi x miri=0 공식의 차이를 이해하면 보다 정확한 물리학적 해석이 가능해집니다. 또한, 비강체 공식을 사용하는 이유는 물체 내부의 거리 변화뿐만 아니라 외부 힘에 의한 변형 가능성을 고려하기 때문입니다.

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