질문 요약
교수님께서 다른 강의에서 Σmiρi=0라고 하셨는데, 22강에서는 왜 Σρi x miri=0만 지우지 않으셨는지 궁금합니다. 또한 예제에서 비강체(nonrigidbody) 공식을 사용하여 운동에너지를 구하는 방법이 이해가 안 됩니다. 예제에서는 물체 간 거리가 변하지 않는데 왜 이 공식을 사용하셨는지 알고 싶습니다. 질문 시 사용한 이미지: [이미지1](https://lh3.googleusercontent.com/d/10e2tuoheGshlqsbDYigRyRcYYOT2B-Ii) [이미지2](https://lh3.googleusercontent.com/d/1vPI_ddBY_SGcWNjsKREUtdPqx2HZK52k)
답변 요약
Σρi x miri 식의 경우, r에 붙은 subscript i 때문에 Σ의 영향을 받습니다. 하지만 Σρi X mir=0일 때에는 r에 subscript i가 없어서 Σ와 무관합니다. cross product에서 Σ는 결합 법칙이 성립하므로 스칼라 값 m을 외적 기호 앞으로 이동시킬 수 있습니다. 따라서 Σ(ρi X mir) = Σ(ρimi) X r = 0이 됩니다. ri가 아닌 r인 경우 Σ의 외부로 r을 이동시켜도 문제가 없으며, ∑(ρimi) 값을 먼저 계산할 수 있습니다. 그러나 ri인 경우에는 시그마의 영향을 받고 Σ 외부로 이동할 수 없습니다. 이런 경우, ∑(ρi X miri) ≠ ∑(ρimi) X ri이기 때문에 0이 아니며, 개별적으로 i부터 n까지 계산해야 합니다.
Unsplash 추천 이미지 (키워드 : Dynamics, Rigid body, Angular momentum, Cross product, Kinematics, Mechanical energy )
동역학 강의 내 각운동량 및 운동에너지 공식의 이해
동역학 강의에서는 다양한 공식과 개념을 통해 물체의 운동을 설명합니다. 특히 각운동량과 운동에너지는 중요한 개념으로, 이를 이해하는 것은 물리학 전공 학생들에게 필수적입니다. 이번 포스트에서는 Σmiρi=0 공식과 Σρi x miri=0 공식을 중심으로 설명하며, 비강체(nonrigid body) 운동에너지 계산의 의문점을 해결해 보겠습니다.
각운동량의 이해: Σmiρi=0과 Σρi x miri=0의 차이
각운동량은 물체가 회전할 때 가지는 운동량을 의미합니다. 각운동량을 계산할 때 흔히 사용하는 공식이 Σmiρi=0입니다. 이 공식에서 mi는 질량, ρi는 위치 벡터를 나타냅니다. Σ를 통해 모든 입자의 합을 구합니다.
반면, Σρi x miri=0 공식은 각운동량의 다른 형태로, 여기서 'x'는 교차곱을 의미합니다. 교차곱을 사용할 때에는 벡터의 순서와 위치에 주의해야 합니다. 이 공식의 경우, r에 subscript i가 붙어 있는지 여부가 중요합니다.
- Σmiρi=0: 이 경우, 모든 입자의 위치 벡터의 총합이 0이라는 의미입니다. 이는 시스템의 무게중심이 원점에 있음을 나타냅니다.
- Σρi x miri=0: 이 공식은 각 입자의 위치 벡터와 질량, 그리고 회전 벡터의 교차곱의 합이 0임을 뜻합니다. r에 i가 붙어 있는 경우, 각 입자의 영향을 받아야 하므로 Σ와 무관하지 않습니다.
교차곱에서는 스칼라 값 m을 외적 기호 앞으로 이동시킬 수 있습니다. 따라서 Σ(ρi X mir) = Σ(ρimi) X r = 0이 됩니다. ri가 아닌 r인 경우 Σ의 외부로 r을 이동시켜도 문제가 없습니다. 하지만 ri가 있는 경우에는 각 입자가 개별적으로 영향을 받기 때문에 Σ 외부로 이동할 수 없습니다. 따라서 이 경우에는 각각의 i에 대해 개별적으로 계산해야 합니다.
비강체(nonrigid body) 운동에너지 계산
강체(rigid body)는 물체 내부의 각 지점 사이의 거리가 변하지 않는 물체를 말합니다. 반면 비강체는 내부의 거리가 변할 수 있는 물체를 의미합니다. 그러므로 비강체의 운동에너지를 계산할 때는 다른 접근이 필요합니다.
비강체의 운동에너지를 계산할 때 사용하는 일반적인 공식은 다음과 같습니다:
여기서
예제를 통해 이해해보겠습니다. 만약 물체가 회전하고 있는 상황에서 내부의 거리가 변하지 않는다면, 여전히 비강체 공식을 사용할 수 있습니다. 이는 내부의 거리 변화가 없는 상태에서도 외부 힘에 의해 물체의 형태가 변형될 수 있기 때문입니다. 따라서 예제에서는 이러한 가능성을 고려하여 비강체 공식을 사용한 것입니다.
결론
동역학에서 각운동량과 운동에너지를 이해하는 것은 물리학의 기본을 이해하는데 필수적입니다. Σmiρi=0와 Σρi x miri=0 공식의 차이를 이해하면 보다 정확한 물리학적 해석이 가능해집니다. 또한, 비강체 공식을 사용하는 이유는 물체 내부의 거리 변화뿐만 아니라 외부 힘에 의한 변형 가능성을 고려하기 때문입니다.
이 포스트가 여러분의 학습에 도움이 되길 바랍니다. 더 궁금한 점이 있다면 언제든지 질문해 주세요. 추가적인 자료는 여기를 참조해 주세요.
유니스터디 바로가기 : https://www.unistudy.co.kr/megauni.asp
학습Q&A 바로가기 : https://www.unistudy.co.kr/community/qna_list.asp
0 댓글