동역학 9강: v_Phi 계산 방식에 대한 질문 (spherical coordinates, vector calculation, vector components, geometry, trigonometry, physics problem)

질문 요약

문제 풀이 마지막 부분에서 spherical coordinate의 v_Phi 크기를 구할 때, 왜 v_r과 v_z 두 개의 성분을 모두 사용하는지 궁금합니다. 단순히 스칼라 값을 구하는 것이라면 한 성분만 사용해도 되지 않나요? 벡터의 계산이라면 v_Phi=-v_r*(sin(13.19))^2 + v_z*(cos(13.19))^2처럼 계산해야 하지 않나요?

답변 요약

좋은 질문입니다. 그림 때문에 헷갈릴 수 있습니다. v_r 성분이나 v_z 성분 중 하나만 사용할 수 있을 것처럼 보이지만, 실제로는 v_r과 v_z 성분이 모두 반영된 값이 v_phi입니다. 삼각형 두 개가 하나의 변을 공유하고 있기 때문에 v_phi 값을 구할 때 v_r과 v_z를 모두 고려해야 합니다. 그림을 더 정확하게 그리면 이해하기 쉬울 수 있지만, 너무 복잡해지기 때문에 간단하게 설명했습니다. 이해에 어려움을 드려서 죄송합니다. http://file.unistudy.co.kr/SEDATA/dylee_mqna_20200810095300.PNG http://file.unistudy.co.kr/SEDATA/dylee_mqna_20200810095311.PNG

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동역학 9강: v_Phi 계산 방식에 대한 질문

이번 강의에서 다룬 내용 중 하나는 spherical coordinate에서의 속도 성분 계산입니다. 질문자께서는 v_Phi의 크기를 구할 때 왜 v_r과 v_z 두 개의 성분을 모두 사용하는지에 대해 궁금해하셨습니다. 단순히 스칼라 값을 구하려면 한 성분만 사용해도 될 것 같은데, 왜 두 성분을 모두 고려해야 하는지에 대해 알아보겠습니다.

v_Phi 계산의 이해

우선, spherical coordinate에서 속도 성분을 계산하는 것은 벡터의 성질을 이해하는데 중요한 부분입니다. 구면 좌표계에서의 속도 성분은 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

$$ \vec{v} = v_r \hat{r} + v_\theta \hat{\theta} + v_\phi \hat{\phi} $$

여기서 \(v_r\), \(v_\theta\), \(v_\phi\)는 각각 radial, polar, and azimuthal 성분을 나타냅니다. 질문자는 왜 v_r과 v_z를 모두 사용해야 하는지에 대해 의문을 제기하셨습니다. 이를 이해하기 위해 먼저 그림을 살펴보겠습니다.

위 그림에서 볼 수 있듯이, 구면 좌표계는 각 성분이 삼각형 관계를 형성하며 연결되어 있습니다. 구면 좌표계에서의 속도 성분을 분해하면 다음과 같은 관계식을 가지게 됩니다:

$$ v_\phi = -v_r \sin^2(\theta) + v_z \cos^2(\theta) $$

여기서 \( \theta \)는 polar angle입니다. 이 관계식은 각 성분이 어떻게 상호작용하는지를 나타냅니다. 단순히 하나의 성분만을 고려한다면 전체 속도를 정확하게 나타내지 못할 것입니다.

성분의 상호작용

성분의 상호작용을 이해하기 위해, 구면 좌표계에서의 벡터 분해를 다시 한 번 살펴보겠습니다. 구면 좌표계에서의 속도 벡터는 다음과 같이 표현됩니다:

$$ \vec{v} = v_r \hat{r} + v_\theta \hat{\theta} + v_z \hat{z} $$

이 벡터를 분해하면 각 성분이 서로 다른 각도로 기여하게 됩니다. 예를 들어, v_r 성분은 반경 방향으로의 속도를 나타내며, v_z 성분은 높이 방향으로의 속도를 나타냅니다. 이러한 성분을 고려하지 않고 단순히 하나의 성분만을 사용한다면, 전체 속도를 정확하게 계산할 수 없습니다.

위 그림은 v_r과 v_z 성분이 어떻게 상호작용하는지를 나타냅니다. 이 두 성분은 하나의 변을 공유하며, 이 변을 기준으로 속도 벡터가 분해됩니다. 따라서 v_Phi를 계산할 때는 두 성분을 모두 고려해야 합니다.

정확한 그림과 설명

그림을 더 정확하게 그리면 이해하기 쉬울 수 있지만, 너무 복잡해지기 때문에 간단하게 설명드렸습니다. 예를 들어, v_r과 v_z 성분이 반영된 v_phi 값은 다음과 같이 계산됩니다:

$$ v_\phi = \sqrt{(v_r \sin(\theta))^2 + (v_z \cos(\theta))^2} $$

이 식은 각 성분이 어떻게 기여하는지를 보여줍니다. 따라서, 단순히 하나의 성분만을 고려해서는 정확한 v_Phi 값을 얻을 수 없습니다.

이상으로, 왜 v_r과 v_z 두 개의 성분을 모두 사용해야 하는지에 대해 설명드렸습니다. 이해에 어려움을 드려서 죄송합니다. 추가적인 질문이 있으시면 언제든지 문의해 주세요.

그림1 링크 그림2 링크

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