RLC 회로의 직류 정상 상태에서 강제응답 유무 (electronics, circuit theory, RLC circuit, parallel circuit, series circuit, electrical engineering)

질문 요약

강의에서 RLC 이차 회로에서 강제응답을 구할 때 직류정상상태에서 응답을 구한다고 나와있습니다. 제가 생각의 흐름을 정리하면 다음과 같습니다. (1) 직류에서 f(t)는 상수이므로 강제응답은 상수값 B입니다. (2) 고유응답의 해가 실근, 중근, 복소근일 때는 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하여 0+강제응답 = y(무한대)로 강제응답이 직류정상상태응답이 됩니다. (3) 그러나 순허근인 경우 고유응답의 삼각함수가 0으로 수렴하지 않습니다. 이 경우에도 직류정상상태응답이 강제응답이 될 수 있나요? 실근, 중근, 복소근의 경우에도 e^-x (x>0) 대신 e^x로 나오면 고유응답이 직류정상상태응답이 될 수 있나요? (질문에 첨부된 이미지 : https://lh3.googleusercontent.com/d/1vcTrcG2VsH6Y2i9T0ETk-pd4l9pbMsHa)

답변 요약

정상상태응답(직류정상상태, 정현파정상상태)응답은 고유응답이 시간이 지나면서 0으로 사라지고 강제응답만 남는 상태입니다. 직류정상상태응답이 성립하려면 고유응답이 시간이 지나면 0으로 소멸해야 합니다. 이렇게 시간이 지나며 0으로 소멸하는 고유응답을 과도응답이라 합니다. 고유응답이 0으로 소멸하기 위한 조건은 '미분방정식의 특성근의 실수부가 음수일 때'입니다. 특성근이 순허근일 경우 정상상태응답이 존재하지 않으며, 고유응답이 e^x 꼴이면 시간이 지남에 따라 발산하여 정상상태응답이 존재하지 않습니다. 그러나 RLC 직렬/병렬 회로에서 특성근의 실수부가 항상 음수이므로 정상상태응답이 존재합니다. 인덕터를 단락시키고 커패시터를 개방시켜 강제응답을 구하는 방법은 정상상태 응답 여부와 관계없이 적용할 수 있습니다.

원본 바로가기 >>>

 

Unsplash 추천 이미지 (키워드 : electronics, circuit theory, RLC circuit, parallel circuit, series circuit, electrical engineering )

 

RLC 회로의 직류 정상 상태에서 강제응답 유무

전자공학 및 회로이론을 공부하면서 RLC 회로의 응답을 이해하는 것은 매우 중요합니다. 특히, 회로의 강제응답(forced response)과 고유응답(natural response)을 구분하는 것은 회로의 특성을 파악하는 데 핵심적입니다. 본 포스트에서는 RLC 회로의 직류 정상 상태에서 강제응답이 존재하는지 여부에 대해 논의하겠습니다.

강제응답과 고유응답의 기본 개념

1. 강제응답: 외부 입력 신호(전압 또는 전류)에 의해 유도된 회로의 응답입니다. 이는 주로 입력 신호의 형태와 동일한 형태를 가지며, 입력 신호가 상수라면 강제응답도 상수가 됩니다.
2. 고유응답: 초기 조건에 의해 결정되는 회로의 자연스러운 응답으로, 외부 입력 신호와 무관하게 회로 자체의 특성에 의해 결정됩니다.

RLC 회로의 미분방정식을 통해 특성근을 구하면, 고유응답의 형태를 결정할 수 있습니다. 특성근의 형태에 따라 고유응답이 시간이 지남에 따라 소멸하는지 여부도 알 수 있습니다.

직류 입력에 대한 강제응답

RLC 회로에 직류 입력이 주어질 때, 입력 신호 \( f(t) \)는 상수로 간주됩니다. 이때 강제응답은 상수값 \( B \)가 됩니다. 직류 입력이 상수인 경우, 회로가 충분히 시간이 지난 후의 정상 상태에서 강제응답이 \( B \)가 되는지 검토해 보겠습니다.

고유응답의 형태

미분방정식의 특성근에 따라 고유응답의 형태가 달라집니다. 특성근이 실근, 중근, 복소근일 때 각각의 고유응답 형태는 다음과 같습니다:

• 실근: 시간이 지남에 따라 고유응답은 지수 함수 형태로 감소합니다. \( e^{-\alpha t} \) ( \( \alpha > 0 \) )
• 중근: 실근의 경우와 유사하게 시간이 지남에 따라 지수 함수 형태로 감소합니다. \( t e^{-\alpha t} \) ( \( \alpha > 0 \) )
• 복소근: 진동 성분을 가지며 지수 함수 형태로 감소합니다. \( e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi) \) ( \( \alpha > 0 \) )
• 순허근: 순수한 진동 성분으로, 시간이 지나도 감소하지 않습니다. \( \cos(\omega t + \phi) \)

순허근의 경우 직류 정상 상태 응답

순허근의 경우 고유응답이 시간이 지나도 0으로 수렴하지 않으므로, 정상 상태 응답이 강제응답과 같아지지 않습니다. 순허근의 고유응답은 진동 성분으로 이루어져 있으며, 이는 시간이 지나도 계속해서 진동을 유지합니다.

특성근의 실수부가 음수일 때

특성근의 실수부가 음수인 경우, 고유응답은 시간이 지남에 따라 0으로 수렴합니다. 이는 다음과 같은 형태를 가집니다:

$$ y_{natural}(t) = A e^{-\alpha t} \cos(\omega t + \phi) \quad (\alpha > 0) $$

이 경우 시간이 무한대로 갈 때 \( e^{-\alpha t} \) 항이 0으로 수렴하므로 최종 응답은 강제응답만 남습니다. 따라서 직류 정상 상태에서의 응답은 입력 신호의 상수값 \( B \)가 됩니다.

RLC 회로의 특성근

RLC 회로의 특성근은 회로의 저항, 인덕턴스, 커패시턴스 값에 따라 결정됩니다. RLC 직렬/병렬 회로에서 특성근의 실수부는 항상 음수이므로 고유응답이 시간이 지나면 0으로 소멸하고, 정상 상태에서 강제응답만 남습니다.

결론

따라서, RLC 회로에서 직류 입력이 주어졌을 때, 고유응답이 시간이 지나면서 0으로 소멸하고 강제응답만 남는다면, 직류 정상 상태에서의 응답은 입력 신호의 상수값 \( B \)가 됩니다. 이는 특성근의 실수부가 음수일 때 항상 성립합니다. 따라서 RLC 회로의 직류 정상 상태에서의 강제응답은 항상 존재하며, 이는 입력 신호의 상수값과 동일하게 됩니다.

유니스터디 바로가기 : https://www.unistudy.co.kr/megauni.asp

학습Q&A 바로가기 : https://www.unistudy.co.kr/community/qna_list.asp