비제차 미분 방정식에서 Phase(위상)를 고려하지 않는 이유 (Vibration, Harmonic Motion, Differential Equation, Forced Vibration, Phase Analysis, Mechanical Engineering)

질문 요약

7강 Harmonic Excitation-비감쇠 시스템에서 질문이 있습니다. F0cos(wt)가 작용하는 시스템의 운동 방정식은 비제차 미분 방정식입니다. 그래서 일반해와 특이해를 결합한 형태로 해를 구합니다. Xp = Xcos(wt)로 가정하는데, 여기서 w가 F0cos(wt)에서의 w와 같습니다. 이 때 Phase(Phi)를 고려하지 않는데, 왜 그런지, 또 Phase가 어떤 의미인지 궁금합니다. 책에서는 Phase가 '사인 함수의 초기값을 결정한다'고 하는데, 초기값과 관련이 있다면 Phase가 달라져야 하는 것 아닌가요?

답변 요약

Phase는 헷갈릴 수 있는 개념입니다. 초기 자유 진동에서는 phase를 고려해 x(t)=Asin(wnt+phi)로 정의했습니다. 이는 우리가 정확한 파형을 알지 못하기 때문입니다. 하지만 강제 진동에서는 힘의 정보를 알기 때문에 F0cos(wt)를 사용하며, particular solution은 Xcos(wt)가 됩니다. 이는 가진력의 형태가 F0cos(wt)이므로 phase 변화를 고려하지 않아도 됩니다. 진폭은 힘의 크기와 진동수에 따라 달라지므로 미지수로 처리합니다. 비제차 미분방정식을 풀 때 homogenous solution은 기본적인 자유 진동, particular solution은 강제 진동과 연관이 있습니다.

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비제차 미분 방정식에서 Phase(위상)를 고려하지 않는 이유

이번 블로그에서는 비제차 미분 방정식에서 Phase(위상)를 고려하지 않는 이유에 대해 깊이 있게 다루어 보겠습니다. 특히, 강제 진동과 관련된 시스템에서 Phase를 왜 무시할 수 있는지, 그리고 Phase가 어떤 의미를 가지는지에 대해 설명하겠습니다.

비제차 미분 방정식과 Phase의 관계

비제차 미분 방정식은 다음과 같은 형태로 주어집니다:

\[ m \ddot{x} + c \dot{x} + k x = F_0 \cos(\omega t) \]

여기서 \(m\)은 질량, \(c\)는 감쇠계수, \(k\)는 스프링 상수, \(F_0 \cos(\omega t)\)는 외부 힘입니다. 이 방정식의 해는 일반해와 특이해를 결합한 형태로 구할 수 있습니다.

파형과 초기값

Phase는 헷갈릴 수 있는 개념입니다. 초기 자유 진동에서는 Phase를 고려해 다음과 같이 정의합니다:

\[ x(t) = A \sin(\omega_n t + \phi) \]

여기서 \(A\)는 진폭, \(\omega_n\)은 고유 진동수, \(\phi\)는 초기 Phase입니다. 이는 우리가 정확한 파형을 알지 못하기 때문에 초기값을 고려하여 해를 구하는 방식입니다.

강제 진동과 Phase

하지만 강제 진동에서는 상황이 다릅니다. 외부 힘의 정보를 알고 있기 때문에, 가진력의 형태에 따라 해를 구할 수 있습니다. 주어진 외부 힘이 \(F_0 \cos(\omega t)\)라면, 특이해는 다음과 같이 가정할 수 있습니다:

\[ x_p(t) = X \cos(\omega t) \]

여기서 \(X\)는 진폭입니다. 이 경우 Phase 변화를 고려하지 않아도 되는 이유는 외부 힘 \(F_0 \cos(\omega t)\)가 이미 cosine 함수로 주어지기 때문입니다. 따라서 Phase \(\phi\)는 고정된 값이 되어 무시할 수 있게 됩니다.

미분 방정식의 해 구성

비제차 미분 방정식을 풀 때는 두 가지 해를 결합합니다:

1. 호모지니어스 해 (자유 진동 부분)
2. 파티큘러 솔루션 (강제 진동 부분)

호모지니어스 해는 다음과 같습니다:

\[ x_h(t) = A \sin(\omega_n t + \phi) \]

그리고 파티큘러 솔루션은 다음과 같습니다:

\[ x_p(t) = X \cos(\omega t) \]

전체 해는 이 두 가지 해의 합으로 주어집니다:

\[ x(t) = x_h(t) + x_p(t) = A \sin(\omega_n t + \phi) + X \cos(\omega t) \]

왜 Phase를 무시할 수 있는가?

강제 진동 문제에서 Phase를 무시할 수 있는 이유는 주어진 외부 힘의 형태가 명확하기 때문입니다. 외부 힘 \(F_0 \cos(\omega t)\)는 이미 cosine 함수로 주어져 있고, 이 힘에 의해 유도된 진동의 Phase는 고정됩니다. 따라서 Phase를 별도로 고려하지 않아도 파티큘러 솔루션의 형태를 결정할 수 있습니다.

결론

비제차 미분 방정식에서 Phase를 고려하지 않는 이유는 외부 힘의 정보가 이미 주어져 있기 때문입니다. 강제 진동 문제에서는 외부 힘의 형태가 주어지므로, Phase 변화를 무시하고 파티큘러 솔루션을 구할 수 있습니다. 이는 자유 진동의 경우와는 달리 초기값을 통해 파형을 결정하는 것이 아니라, 외부 힘에 의해 고정된 파형을 따르기 때문입니다.

이 블로그가 비제차 미분 방정식에서 Phase를 고려하지 않는 이유에 대해 이해하는 데 도움이 되었기를 바랍니다.

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