동역학: 접선가속도와 중심점을 고려한 풀이 (dynamics, rotational motion, physics, acceleration, rigid body, mechanics)

질문 요약

표시된 부분에서 두 가지 질문이 있습니다. 1) a(B), a(A), a(A/B)로 이루어진 폐다각형에서 변의 길이를 구할 때 (r x 알파)를 사용하는 이유는 무엇인가요? 문제에서 30lb 힘이 (i)방향으로 작용할 때, a(B) = a(n)+a(t)인데 왜 a(t)만 고려하여 a(B)=2알파로 계산하나요? 2) a(B)를 구할 때 G(중심)까지의 거리가 2피트라서 r x 알파 공식을 통해 2알파가 나온다고 하셨는데, 왜 g점까지의 거리만 고려하나요? 그리고 a(A/B)에서는 4ft를 r로 잡고 r x 알파를 사용한 기준이 궁금합니다. (질문에 첨부된 이미지 : https://lh3.googleusercontent.com/d/1DxnocX8GmCqC13_9dr35NMqRjxo9-poD)

답변 요약

[첫 번째 질문] 잘 생각하셨습니다. B점이 일반적인 회전을 한다면 a(B) = a(n)+a(t)로 설명됩니다. 하지만 이 문제에서는 A점과 B점이 구속되어 있어 각각 왼쪽/오른쪽, 위/아래로만 운동할 수 있습니다. 따라서 접선 방향으로의 직선 가속도만을 고려합니다. [두 번째 질문] 네, 맞습니다. 접선 방향의 속도는 반경과 관련이 있습니다. 질량중심인 G를 중심으로 계산하는 이유는 가장 계산하기 편하기 때문입니다. Bar의 관성모멘트가 중심에 대해 mL^2/12로 정의되어 있어 문제를 쉽게 풀 수 있습니다. 물론 다른 점을 기준으로 계산해도 되지만, 그러면 관성모멘트를 따로 유도해야 하고 질량중심과의 추가 모멘트까지 고려해야 해서 풀이가 복잡해집니다.

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동역학: 접선가속도와 중심점을 고려한 풀이

동역학은 물체의 운동을 분석하는 중요한 분야입니다. 특히 접선가속도와 중심점을 고려한 해석은 기계나 구조물의 운동을 이해하는데 큰 도움을 줍니다. 이번 블로그에서는 동역학 문제 해결의 두 가지 주요 질문에 대해 다루겠습니다.

1. 왜 \( r \times \alpha \)를 사용하는가?
2. 질량 중심 \( G \)까지의 거리만을 고려하는 이유는 무엇인가?

1. 왜 \( r \times \alpha \)를 사용하는가?

우선 첫 번째 질문에 답하기 위해, 접선가속도와 각가속도와의 관계를 이해해야 합니다. 물리학에서는 접선가속도 \( a_t \)가 각가속도 \( \alpha \)와 반지름 \( r \)의 곱으로 나타낼 수 있음을 알고 있습니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다:

\[ a_t = r \times \alpha \]

여기서 \( r \)은 회전 중심에서부터 가속도를 계산하고자 하는 점까지의 거리입니다. 이제 문제에서 주어진 조건을 살펴보겠습니다. 문제에서는 30lb의 힘이 \( i \) 방향으로 작용하고, 이를 통해 \( a(B) \)를 계산해야 합니다. B점의 가속도는 일반적으로 접선 가속도 \( a_t \)와 법선 가속도 \( a_n \)로 나눌 수 있습니다. 하지만 이번 문제에서는 B점과 A점이 구속되어 특정 방향으로만 운동할 수 있다고 했습니다. 따라서 접선 가속도만을 고려하여 문제를 풀 수 있습니다.

이는 구속 조건이 있는 상황에서 자주 발생하는 경우로, 특정 운동 방향만을 고려하여 직선 가속도를 계산하는 것이 더 효율적입니다. 예를 들어, B점이 왼쪽이나 오른쪽으로만 운동할 수 있다면, 우리는 접선 가속도만을 고려하면 됩니다.

2. 질량 중심 \( G \)까지의 거리만을 고려하는 이유는 무엇인가?

두 번째 질문은 질량 중심 \( G \)까지의 거리만을 고려하는 이유에 대한 설명입니다. 문제에서 주어진 바와 같이, 질량 중심 \( G \)를 중심으로 계산하는 이유는 다음과 같습니다:

• 계산의 편의성: 질량 중심을 기준으로 계산하면 전체 시스템의 관성모멘트가 단순해집니다. 예를 들어, 막대의 관성모멘트는 중심에 대해 \( \frac{mL^2}{12} \)로 정의됩니다.
• 중심의 역할: 질량 중심은 물체의 운동을 설명하는데 중요한 역할을 합니다. 질량 중심을 기준으로 하면 추가적인 모멘트를 고려할 필요가 없습니다.

질문에서는 \( a(B) \)를 구할 때, 질량 중심 \( G \)까지의 거리가 2피트라서 \( r \times \alpha \) 공식을 통해 2\(\alpha\)가 나온다고 했습니다. 여기서 중요한 점은 질량 중심을 기준으로 계산할 때, 물체의 전체 운동을 쉽게 설명할 수 있다는 것입니다.

또한 \( a(A/B) \)를 계산할 때, 4ft를 \( r \)로 잡고 \( r \times \alpha \) 공식을 사용하는 이유는, A점과 B점 사이의 거리가 4ft이기 때문입니다. 이렇게 하면 각가속도와 관련된 접선 가속도를 쉽게 구할 수 있습니다.

결론

이번 블로그에서는 동역학 문제 해결의 두 가지 주요 질문에 대해 다루었습니다. 첫 번째는 왜 \( r \times \alpha \)를 사용하는가에 대한 것이며, 두 번째는 질량 중심 \( G \)까지의 거리만을 고려하는 이유였습니다. 요약하면 다음과 같습니다:

1. 접선가속도 \( a_t \)는 각가속도 \( \alpha \)와 반지름 \( r \)의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 구속 조건이 있는 경우 접선 가속도만을 고려할 수 있습니다.
2. 질량 중심 \( G \)를 기준으로 계산하면 관성모멘트가 단순해지고, 전체 시스템의 운동을 쉽게 설명할 수 있습니다.

동역학 문제를 풀 때 이러한 개념들을 잘 이해하고 적용하면 보다 정확하고 효율적으로 문제를 해결할 수 있습니다.

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