극좌표의 변화량벡터 방향에 대한 질문 (dynamics, polar coordinates, change vector, direction, theta, proof, speed)

질문 요약

수업 중 극좌표의 변화량벡터 방향에 대해 궁금증이 있습니다. 변화량벡터의 방향이 er과 de세타의 방향과 동일하다는데, 이 부분에 대한 증명이 어려울 경우 방향이 같다고 이해해도 되는지 궁금합니다.

답변 요약

동역학 강의에서 극좌표의 속도를 유도할 때 방향이 같다는 것은 초반부에 헷갈릴 수 있는데, 그대로 받아들이거나 증명이 어렵다면 그대로 이해해도 괜찮습니다.

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극좌표계에서의 변화량 벡터의 방향 이해

극좌표계는 동역학에서 자주 사용되는 좌표계 중 하나로, 위치를 나타내는 데 사용되는 변수로는 반지름 $r$과 각도 $\theta$가 있습니다. 극좌표계에서의 위치 벡터 $\mathbf{r}$는 다음과 같이 표현됩니다:

$$\mathbf{r}=r{\mathbf{e}}_r$$

여기서 ${\mathbf{e}}_r$는 $r$ 방향의 단위 벡터입니다. 이 단위 벡터의 변화율을 이해하는 것은 동역학에서 매우 중요합니다. 극좌표계에서의 단위 벡터 ${\mathbf{e}}_r$과 ${\mathbf{e}}_{\theta }$는 각각 반지름 방향과 그에 수직인 방향을 가리키며, 이들의 변화율은 벡터의 방향 변화를 설명하는 데 중요한 역할을 합니다.

${\mathbf{e}}_r$과 ${\mathbf{e}}_{\theta }$의 변화율

먼저, ${\mathbf{e}}_r$의 시간에 따른 변화율을 계산해 보겠습니다. 극좌표계에서 ${\mathbf{e}}_r$은 각 $\theta$의 변화에 따라 방향이 바뀝니다. 따라서 ${\mathbf{e}}_r$의 변화율은 $\theta$의 변화율에 의존하며, 이는 ${\mathbf{e}}_{\theta }$ 방향으로의 변화를 의미합니다:

$$\frac{d{\mathbf{e}}_r}{dt}=\frac{d\theta }{dt}{\mathbf{e}}_{\theta }$$

이 식은 ${\mathbf{e}}_r$의 변화율이 ${\mathbf{e}}_{\theta }$ 방향과 같다는 것을 나타냅니다. 이제 ${\mathbf{e}}_{\theta }$의 변화율을 살펴보겠습니다. ${\mathbf{e}}_{\theta }$는 ${\mathbf{e}}_r$에 수직이며, $\theta$가 증가함에 따라 $-{\mathbf{e}}_r$ 방향으로 회전합니다. 따라서:

$$\frac{d{\mathbf{e}}_{\theta }}{dt}=-\frac{d\theta }{dt}{\mathbf{e}}_r$$

이 결과는 ${\mathbf{e}}_{\theta }$의 변화율이 ${\mathbf{e}}_r$과 반대 방향임을 보여줍니다.

변화량 벡터의 방향에 대한 증명

위에서 유도한 두 결과를 통해, ${\mathbf{e}}_r$과 ${\mathbf{e}}_{\theta }$의 변화량 벡터가 각각 ${\mathbf{e}}_{\theta }$와 $-{\mathbf{e}}_r$ 방향임을 알 수 있습니다. 이는 극좌표계에서 벡터의 방향 변화를 정확히 설명해 주며, 각각의 변화량 벡터가 상호 수직임을 확인할 수 있습니다. 따라서 각 벡터의 변화량과 기존 벡터의 방향이 일치한다고 말하는 것은 정확한 표현이 아닙니다. 오히려, 각 변화량 벡터는 원래 벡터에 수직인 방향을 가진다고 이해하는 것이 맞습니다.

이러한 이해를 바탕으로, 극좌표계에서의 벡터 변화량과 그 방향에 대해 더욱 명확하게 이해할 수 있습니다. 각 단위 벡터의 변화율을 고려하여 동역학적 문제를 해결할 때 이러한 지식이 매우 중요하게 사용됩니다.

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