열전달 강의 11강 라플라시안에 대한 추가 설명 요청합니다 (Conduction, state, coordinate system, cylindrical coordinate system, spherical coordinate system, thermal conductivity, temperature, property values.)

질문 요약

1D conduction과 steady state에서 직각, 원통, 구 좌표계의 k∇^2 = 0에 대한 설명이 이해되지 않습니다. 특히 원통, 구 좌표계에서 r과 r제곱이 들어감에도 불구하고 식이 옳게 나와서 혼란스럽습니다. 이에 대한 추가 설명이 필요합니다.

답변 요약

원통 또는 구 좌표계에서 k∇^2=0이 맞는데, 중요한 것은 q가 위치에 독립적이라는 것입니다. 증명된 이유는 온도차와 물성치에만 영향을 받기 때문이죠. 따라서, 전달 방정식과는 상관 없이 잘 계산될 것입니다.

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1D 열전도에서 라플라시안(Laplacian) 이해하기: 직각, 원통, 구 좌표계

열전달 분야에서 1차원 정상 상태(1D steady state) 전도 문제를 해결할 때, 라플라시안을 활용하는 것은 매우 중요합니다. 특히 다양한 좌표계에서의 라플라시안 형태와 그 의미를 정확히 이해하는 것이 필수적입니다. 여기서는 직각, 원통, 구 좌표계에 대해 설명하고, 각각에서 라플라시안이 왜 0이 되는지에 대해 설명하겠습니다.

직각 좌표계에서의 라플라시안

직각 좌표계에서의 라플라시안은 가장 간단한 형태를 가집니다. 1차원에서의 열전도 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:

$$ k \nabla^2 T = 0 \quad \text{where} \quad \nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} $$

여기서 \( T \)는 온도, \( x \)는 위치, \( k \)는 열전도율을 나타냅니다. 정상 상태에서는 시간에 따른 온도 변화가 없으므로, 열전달은 공간적으로만 발생합니다. 따라서 라플라시안 \( \nabla^2 T \)가 0이 되어야 합니다.

원통 좌표계에서의 라플라시안

원통 좌표계에서의 라플라시안은 조금 더 복잡합니다. 1차원 원통 좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같습니다:

$$ \nabla^2 T = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial T}{\partial r} \right) $$

여기서 \( r \)은 원통의 반지름을 나타냅니다. 이 식은 \( r \)이 변하면서 발생하는 추가적인 항을 포함하고 있습니다. 그럼에도 불구하고, 정상 상태에서는 \( k \nabla^2 T = 0 \)이 성립합니다. 이는 열 흐름이 균일하게 분포되어 \( r \)에 따른 온도 구배가 일정하다는 것을 의미합니다.

구 좌표계에서의 라플라시안

구 좌표계에서의 라플라시안도 원통 좌표계와 유사한 추가 항을 포함합니다. 구 좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같이 표현됩니다:

$$ \nabla^2 T = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) $$

여기서 \( r \)은 구의 반지름을 나타냅니다. 정상 상태에서 \( k \nabla^2 T = 0 \)이 성립하므로, \( r \)에 따른 온도 구배가 구의 반지름에 대해 일정하게 유지됩니다. 이는 열이 구를 통해 균일하게 퍼져 나간다는 것을 의미합니다.

결론

따라서, 원통이나 구 좌표계에서의 \( k \nabla^2 T = 0 \)은 물리적으로 열이 해당 좌표계에 적합하게 균일하게 분포되어 있음을 의미합니다. 이러한 이론적 배경은 열전달을 해석할 때 매우 중요하며, 정상 상태에서의 열 흐름을 이해하는 데 필수적인 요소입니다.

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