질문 요약
1D conduction과 steady state에서 직각, 원통, 구 좌표계의 k∇^2 = 0에 대한 설명이 이해되지 않습니다. 특히 원통, 구 좌표계에서 r과 r제곱이 들어감에도 불구하고 식이 옳게 나와서 혼란스럽습니다. 이에 대한 추가 설명이 필요합니다.
답변 요약
원통 또는 구 좌표계에서 k∇^2=0이 맞는데, 중요한 것은 q가 위치에 독립적이라는 것입니다. 증명된 이유는 온도차와 물성치에만 영향을 받기 때문이죠. 따라서, 전달 방정식과는 상관 없이 잘 계산될 것입니다.
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1D 열전도에서 라플라시안(Laplacian) 이해하기: 직각, 원통, 구 좌표계
열전달 분야에서 1차원 정상 상태(1D steady state) 전도 문제를 해결할 때, 라플라시안을 활용하는 것은 매우 중요합니다. 특히 다양한 좌표계에서의 라플라시안 형태와 그 의미를 정확히 이해하는 것이 필수적입니다. 여기서는 직각, 원통, 구 좌표계에 대해 설명하고, 각각에서 라플라시안이 왜 0이 되는지에 대해 설명하겠습니다.
직각 좌표계에서의 라플라시안
직각 좌표계에서의 라플라시안은 가장 간단한 형태를 가집니다. 1차원에서의 열전도 방정식은 다음과 같이 표현됩니다:
여기서
원통 좌표계에서의 라플라시안
원통 좌표계에서의 라플라시안은 조금 더 복잡합니다. 1차원 원통 좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같습니다:
여기서
구 좌표계에서의 라플라시안
구 좌표계에서의 라플라시안도 원통 좌표계와 유사한 추가 항을 포함합니다. 구 좌표계에서의 라플라시안은 다음과 같이 표현됩니다:
여기서
결론
따라서, 원통이나 구 좌표계에서의
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