동역학 예제 문제 중 내적 관련 궁금증에 대해 질문합니다 (Picture, red, angle, vector, dot product, definition, magnitude, speed, derivative)

질문 요약

사진에서 빨강으로 표시한 부분에서 eθ와 Vb의 내적을 설명할 때, 내적 정의에 따라 추가적인 설명이 필요하다고 생각합니다. Vb의 eθ성분 rθdot이 Vb의 크기로만 표현되어 있는 부분에 대해 궁금증을 가지고 있습니다.

답변 요약

Vb의 eθ성분과 내적한 결과가 r(dθ/dt)로 표현된다는 것을 설명하고, 속도를 미분하면 er, eθ 성분으로 표현된다고 하였습니다. 따라서 θ성분의 크기를 나타낸다고 합니다. B점의 값이 cosβ를 포함한다는 것을 확인할 수 있습니다.

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동역학 예제 문제의 내적 관련 궁금증 해결

동역학에서 벡터의 내적은 매우 중요한 연산 중 하나로, 특히 속도나 가속도와 같은 벡터의 성분을 구할 때 자주 사용됩니다. 귀하가 질문하신 내용은 벡터 Vb와 단위 벡터 eθ의 내적과 관련된 부분으로, 내적의 기하학적 의미와 계산에 관한 혼동이 있는 것 같습니다. 아래에서 내적의 정의를 다시 설명하고, 귀하의 의문을 해결해 보겠습니다.

내적의 정의와 계산

두 벡터의 내적은 다음과 같이 정의됩니다:

• 내적의 정의: 두 벡터 A와 B의 내적 A·B는 |A||B|cos(θ)로 정의됩니다, 여기서 θ는 두 벡터 사이의 각입니다.

문제에서 주어진 벡터 Vb는 극좌표계에서 벡터의 표현을 가지며, Vb의 eθ 성분은 Vb가 eθ 방향으로 얼마나 기여하는지를 나타냅니다. 이는 Vb와 eθ 사이의 각도가 0도 또는 180도인 경우에 해당 성분의 크기와 동일하다는 것을 의미합니다. 일반적으로 이 각도는 β로 주어집니다.

귀하의 질문에 대한 구체적 해석

위 이미지에 따르면, Vb의 eθ 성분이 r(dθ/dt)와 같다고 설명되어 있습니다. 여기서 중요한 점은, Vb의 eθ 성분이 eθ 방향의 속도 성분만을 나타내므로, 이는 Vb와 eθ 사이의 베타 각의 코사인 값을 곱할 필요가 없음을 의미합니다. 왜냐하면 eθ는 이미 Vb 방향에 정확히 평행하거나 반대 방향이기 때문입니다.

따라서, 내적을 계산할 때 코사인 베타를 곱하는 것은 이 경우에 필요하지 않습니다. Vb의 eθ 성분은 벡터 Vb가 이미 eθ 방향으로 투영된 크기를 나타내기 때문에, 이 값은 r(dθ/dt)가 됩니다.

결론

내적의 계산은 때때로 혼란을 초래할 수 있습니다. 특히 벡터가 특정 단위 벡터와 평행하거나 반대 방향일 때는 내적이 단순히 해당 벡터 성분의 크기를 나타냅니다. 이 문제에서는 Vb의 eθ 성분이 바로 내적의 결과이며, 추가적인 코사인 항을 곱할 필요가 없습니다. 동역학을 공부하면서 이런 벡터 연산에 더 익숙해지시길 바랍니다.

추가적인 질문이 있으시면 언제든지 질문해 주세요. 동역학 공부에 많은 도움이 되기를 바랍니다!

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