열전달 강의 23강 내용에 대한 궁금증 (n, t, derivative, constant, independent variable, calculation, simplification, complex relationship, convenience)

질문 요약

n은 t와 독립적이지 않은데, 그림 아래쪽에서 n에 관해 미분해줄 때 t가 상수 취급되는 이유가 궁금합니다. 윤쌤께 여쭤보니 이 경우, t와 n을 각각 독립변수 취급해준다는데, 각각의 변수들을 독립변수 취급할 수 있는 근거가 있는 것인가요?

답변 요약

이 미분 식들은 열 확산 방정식 또는 다른 유사한 물리 과정을 해석할 때 활용되는 변수 분리(variable separation) 테크닉과 체인 룰(chain rule)을 적용한 결과입니다. 제시된 이미지에서는 두 개의 식이 있는데, 변수 ( T )는 위치 ( x )의 함수로서 '열'이나 다른 어떤 물리적 양을 나타낼 수 있습니다. 첫 번째 식에서 변수 ( η )는 ( x )와 시간 ( t )의 결합된 함수로서, 새로운 변수입니다. 이 변수는 종종 유사 변수(similarity variable)라고 불리우며, 이를 통해 원래의 부분 미분 방정식을 보다 간단한 형태의 상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE)으로 바꾸는 데 유용합니다. 첫 번째 식은 체인 룰을 사용하여 다음과 같이 유도됩니다: [ (∂ T)/(∂ x) = (d T)/(d η) · (d η)/(d x) ] 여기서 ( (d T)/(d η) )는 ( T )가 ( η )에 대해 어떻게 변하는지를 나타내고, ( (d η)/(d x) )는 ( η )가 ( x )에 따라 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 문제에서는 ( η )가 ( x )와 ( t )의 결합 함수로, 다음과 같이 주어집니다: [ η = (x)/((4 α t)^{1/2)} ] 그래서 ( (d η)/(d x) )를 계산하면 ( (4 α t)^{-1/2} )가 됩니다. 따라서 첫 번째 식은 다음과 같이 간단하게 표현됩니다: [ (∂ T)/(∂ x) = (1)/((4 α t)^{1/2)}(d T)/(d η) ] 두 번째 식은 같은 원리로, 이번에는 ( x )에 대한 ( T )의 두 번째 편미분을 다룹니다. 체인 룰을 다시 사용하여 다음과 같이 표현합니다: [ (∂² T)/(∂ x²) = (d)/(d η) ( (∂ T)/(∂ x) ) · (d η)/(d x) ] 첫 번째 식을 통해 이미 ( (∂ T)/(∂ x) )를 ( η )에 대한 함수로 표현했기 때문에, 위 식을 사용하여 두 번째 편미분을 계산할 수 있습니다: [ (∂² T)/(∂ x²) = (d)/(d η)( (1)/((4 α t)^{1/2)}(d T)/(d η) ) · (d η)/(d x) ] 그리고 위 식에서, ( (4 α t)^{1/2} )는 ( η )에 의존하지 않기 때문에 상수로 간주하여 밖으로 빼낼 수 있습니다: [ (∂² T)/(∂ x²) = (1)/((4 α t)^{1/2)} · (d)/(d η)( (d T)/(d η) ) · (d η)/(d x) ] 마지막으로, ( (d η)/(d x) = (4 α t)^{-1/2} )를 다시 적용하면 최종적으로 다음과 같이 됩니다: [ (∂² T)/(∂ x²) = (1)/(4 α t) (d² T)/(d η²) ] 이러한 유도는 비선형 부분 미분 방정식을 선형 상미분 방정식으로 변환하는 과정에서 흔히 볼 수 있는 방법이며, 특히 열전달 공학, 유체역학 및 기타 관련 분야에서 널리 사용됩니다. 그러나 미분 과정에서 η와 t의 의존성에서 의문점이 생기실 것 같습니다. 아래와 같이 미분하면 좀더 그 과정이 논리적으로 이해가 되실 것 같아 첨부드립니다. 어려운 내용인데, 열심히 공부해 주셔서 감사합니다. https://godjunpyo.com/wp-content/uploads/kboard_attached/10/202403/6600383123b469895610.png

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열전달 강의 23강 내용에 대한 궁금증에 대한 답변

안녕하세요, 열전달 강의에 대한 귀하의 궁금증에 답변드리겠습니다. 우선, 질문에 대해 명확하고 이해하기 쉽도록 설명하려고 노력하겠습니다. 언급한 바와 같이, 열전달 과정에서의 변수 변환과 미분 과정은 매우 중요하며, 이를 통해 복잡한 문제를 보다 단순하고 해결 가능한 형태로 바꿀 수 있습니다.

열전달 문제에서 semi-infinite solid 문제를 해결하는 과정에서, 유사 변수(similarity variable) \(η\) 를 도입하는 것은 흔히 사용되는 방법입니다. 이 변수는 원래 문제에서의 두 변수 \(x\) (거리)와 \(t\) (시간)를 결합하여 새로운 단일 변수로 만듭니다. 이러한 접근 방식은 문제를 단순화하고, 부분 미분 방정식(PDE)을 상미분 방정식(ODE)으로 변환하는 데 유용합니다.

특히 궁금해하신 부분은, \(η\)를 미분할 때 \(t\)를 상수처럼 취급하는 이유일 것 입니다. 이는 \(η\)의 정의에서 나온 것으로, \(η = \frac{x}{\sqrt{4αt}}\)입니다. 여기서 \(α\)는 열확산계수입니다. 우리가 \(η\)에 대해 \(x\)나 \(t\)로 미분을 할 때, 각각 다른 변수는 상수로 취급됩니다. 그 이유는 미분 연산자가 하나의 변수에만 적용되기 때문입니다.

1. 먼저, \(x\)에 대한 \(T\)의 편미분을 살펴보겠습니다: \[ \frac{∂T}{∂x} = \frac{dT}{dη} \cdot \frac{dη}{dx} \]
2. 이때, \(\frac{dη}{dx}\)는 \(t\)를 상수로 취급하여 계산되므로, \(η\)의 정의에 따라 \(\frac{1}{\sqrt{4αt}}\)가 됩니다.
3. 따라서, 첫 번째 편미분을 \(η\)에 대한 함수로 표현하면 다음과 같습니다: \[ \frac{∂T}{∂x} = \frac{1}{\sqrt{4αt}}\frac{dT}{dη} \]

이 과정은 변수 \(η\)가 \(x\)와 \(t\)의 함수이기 때문에 가능합니다. 이러한 방식으로 \(η\)를 도입하고 계산하는 것은, 두 변수의 복잡한 관계를 단순화하고 해석하기 용이한 상미분 방정식으로 전환하기 위한 것입니다. 따라서, \(η\)와 \(t\)를 독립변수로 취급할 수 있는 근거는 미분 연산 과정에서 각 변수를 독립적으로 취급하고, 체인 룰을 적용하여 복잡한 문제를 단순화하는 데 있습니다.

변수들끼리의 관계를 모두 고려하면 계산이 복잡해지기 때문에, 이러한 가정을 통해 문제를 보다 쉽게 해결할 수 있습니다. 이러한 접근 방식은 열전달, 유체역학 등 다양한 공학 분야에서 널리 사용됩니다.

마지막으로, 귀하가 더 나은 이해를 위해 참고할 수 있는 이미지를 첨부합니다: 열전달 문제 해결을 위한 변수 변환과 미분 과정.

열심히 공부하는 모습에 감사드리며, 추가 질문이 있으시면 언제든지 문의해 주시기 바랍니다.

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