일반물리학 예제10.8 극소 부피 구하는 방법에 대해 궁금합니다 (1. Volume 2. Surface area 3. Density 4. Mass 5. Radius 6. Cylinder 7. Cube 8. Inertia 9. Calculation 10. Radius of rotation)

질문 요약

21강 19분25초에 극소 부피를 2파이r dr L이라고 하는 이유와 밑면의 넓이를 이용해 부피를 계산하는 방법에 대해 궁금합니다.

답변 요약

원형형 미소질량을 계산할 때, 미소질량은 체적밀도와 미소부피의 곱으로 구합니다. 미소부피는 가로 2πr, 세로 L, 높이 dr인 직육면체로 가정할 수 있습니다. 이 직육면체를 회전하면 미소 부피가 만들어지고, 회전관성은 회전축으로부터 거리의 제곱에 비례합니다. 따라서, 최대 반지름인 R을 대입하는 것이 아니라, 동일한 회전반경을 갖는 미소 질량을 고려하여 계산해야 합니다.

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극소 부피를 구하는 방법: 2πr dr L의 이해

일반물리학을 공부하다 보면 다양한 형태의 물체에 대한 부피 계산 방법을 마주치게 됩니다. 특히 회전체의 부피를 구하는 문제에서는 "극소 부피"라는 개념이 자주 등장합니다. 여기서 극소 부피란, 무한히 작은 부피 요소를 의미합니다. 이러한 극소 부피를 계산하는 과정에서 \(2\pi r \, dr \, L\)이라는 수식을 사용하는데, 왜 이런 수식이 등장하는지에 대해 궁금증을 가지는 분들이 많습니다.

먼저, 극소 부피를 계산하는 이유부터 알아보겠습니다. 물리학에서는 물체의 질량, 회전관성 등을 계산할 때 전체 물체를 무한히 작은 부분으로 나누어 각 부분에 대한 계산을 수행한 후, 이를 모두 합하여 전체 값을 구하는 방식을 사용합니다. 이때 각각의 무한히 작은 부분을 "극소 부피"라고 합니다.

2πr dr L의 유래와 의미

그렇다면 왜 극소 부피를 구할 때 \(2\pi r \, dr \, L\)이라는 수식을 사용하는 걸까요? 이를 이해하기 위해서는 원기둥의 표면적 계산 공식과 밀접한 관련이 있음을 알아야 합니다. 원기둥의 표면적은 원의 둘레와 원기둥의 높이의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 원의 둘레는 \(2\pi r\)이고, 높이는 \(L\)입니다. 따라서 원기둥의 표면적은 \(2\pi r L\)이 됩니다.

이제 극소 부피의 계산으로 돌아가 보겠습니다. 극소 부피는 무한히 얇은 원기둥 형태로 가정할 수 있습니다. 이 원기둥의 높이(두께)는 \(dr\)로, 무한히 작은 값입니다. 따라서 극소 부피를 계산할 때는 원기둥의 표면적 계산 공식에 \(dr\)을 곱해줌으로써 얻게 됩니다. 즉, \(2\pi r \, dr \, L\)이라는 공식은 무한히 얇은 원기둥의 부피를 나타내는 것이며, 이를 통해 물리학 문제에서 원하는 값을 계산할 수 있게 됩니다.

부피 계산과의 차이점

질문에서 언급한 대로, 일반적인 원기둥의 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱한 것입니다. 밑면의 넓이는 \(\pi r^2\)이고, 높이는 \(L\)이므로, 원기둥의 부피는 \(\pi r^2 L\)이 됩니다. 그러나 극소 부피를 계산할 때는 이와 다른 접근 방식을 사용하는데, 그 이유는 우리가 계산하고자 하는 것이 무한히 얇은 원기둥이기 때문입니다. 이런 경우, 밑면의 넓이를 직접 계산하는 대신, 원기둥의 표면적에 두께를 곱하는 방법을 사용하여 극소 부피를 얻게 됩니다.

이러한 계산 방식은 물리학에서 광범위하게 사용되며, 특히 회전체의 부피, 회전관성 등을 계산할 때 필수적인 방법입니다. 따라서 \(2\pi r \, dr \, L\) 공식의 이해는 물리학, 특히 회전 운동과 관련된 문제를 해결하는 데 있어 매우 중요합니다.

결론

결론적으로, 극소 부피를 \(2\pi r \, dr \, L\)로 계산하는 이유는 무한히 얇은 원기둥의 부피를 나타내기 위함입니다. 이 공식은 원기둥의 표면적 공식에서 유래하며, 물리학에서 극소 부피를 계산할 때 흔히 사용되는 방식입니다. 따라서 일반물리학을 공부하면서 이러한 계산 방식에 익숙해지는 것이 중요합니다. 이 공식을 이해하고 적용할 줄 알게 되면, 다양한 물리학 문제를 해결하는 데 있어 큰 도움이 될 것입니다.

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