[유체역학] 음속 공식 유도과정에 대한 질문 (Fluid dynamics, Cengel, Thermodynamics, Differential form, Density, Isothermal change, Derived equation, Speed of sound, Ideal gas state equation, Adiabatic formula.)

질문 요약

유체역학 강의를 들으면서 제가 가지고있는 cengel 열역학 책에 나와있는 빨간 동그라미 식을 유도하려고 하는데, 미분형태가 아닌 kp/(밀도)로만 정리되어 있어서 궁금합니다. 교수님의 블로그에서 위 사진을 발견하였고, 교수님 필기노트에는 등온변화 가정에서 라운드가호가 빠진 식으로만 정리되어있다고 합니다. 해당 식이 어떻게 유도된 것인지 알고 싶습니다. 질문 이미지 : https://file.unistudy.co.kr/Data/SEDATA/iedea300__20210913170556.jpg

답변 요약

음속이 단열일 때와 등온일 때의 차이점에 대한 질문이 있는데, 이를 이해하는 데에 도움이 될 수 있는 내용은 이상기체 상태방정식과 단열공식(pv^k=const)입니다. 해당 내용을 자세히 설명한 링크가 제공되었으니, 이를 참고하시면 됩니다. 링크 : https://bit.ly/48WerfM. 이외에 음속이 왜 단열일 때와 등온일 때 다른지 설명하는 데에 bulk modulus를 활용할 수도 있습니다.

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음속 공식의 유도 과정에 대한 설명

음속에 대한 공식은 유체역학과 열역학의 기본 원리를 활용하여 유도됩니다. 음속이란 파동이 어떤 매질을 통과하는 속도를 의미하며, 주로 공기 중의 소리 속도로 많이 알려져 있습니다. 이 음속은 매질의 특성과 온도에 따라 달라집니다. 여기서는 이상기체 상태방정식과 단열과정을 이용하여 음속을 유도하는 과정에 대해 설명하겠습니다.

이상기체 상태방정식은 다음과 같은 형태로 표현됩니다:

• PV = nRT

여기서 P는 압력, V는 부피, n은 기체의 몰 수, R은 기체 상수, T는 절대 온도입니다.

단열과정에서는 이상기체의 특성을 나타내는 단열 지수 \( k \)를 사용하는데, 단열과정에서는 다음과 같은 관계가 성립합니다:

• PV^k = 일정

이는 엔트로피가 일정한 상태에서의 기체의 상태 변화를 나타냅니다.

음속을 유도하기 위해서는 기체의 압축성을 고려해야 합니다. 이를 위해 Bulk modulus (비압축성 계수) \( B \)를 사용하는데, 이는 압력의 변화에 대한 부피의 변화율을 나타냅니다.

• B = -V(\( \frac{\partial P}{\partial V} \))

음속 \( c \)는 다음과 같이 Bulk modulus \( B \)와 밀도 \( \rho \)를 사용해 나타낼 수 있습니다.

• c = \( \sqrt{\frac{B}{\rho}} \)

단열과정에서의 음속은 다음과 같이 유도할 수 있습니다:

1. 단열과정에서 \( PV^k \)가 일정하므로, \( P = C \cdot V^{-k} \) (여기서 \( C \)는 상수) 라고 할 수 있습니다.
2. \( \frac{\partial P}{\partial V} = -k \cdot C \cdot V^{-(k+1)} \) 이므로, Bulk modulus \( B \)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. \( B = V \cdot k \cdot C \cdot V^{-(k+1)} = k \cdot P \)
3. 이상기체 상태방정식을 사용하여 압력 \( P \)를 밀도 \( \rho \)와 온도 \( T \)로 나타내면, \( P = \rho \cdot R \cdot T \)
4. 따라서, \( B = k \cdot \rho \cdot R \cdot T \)가 됩니다.
5. 이를 음속 공식에 대입하면 \( c = \sqrt{\frac{k \cdot \rho \cdot R \cdot T}{\rho}} = \sqrt{k \cdot R \cdot T} \)로 음속을 구할 수 있습니다.

이렇게 유도된 음속 공식은 단열과정에서만 유효하며, 등온과정에서는 다른 형태의 음속 공식이 사용됩니다. 단열과정에서의 음속은 등온과정에서의 음속보다 일반적으로 더 높습니다. 이는 온도가 상승함에 따라 기체 분자의 운동이 빨라지고, 음파가 전달되는 속도가 증가하기 때문입니다.

더 자세한 내용과 유도 과정을 이해하고 싶으시다면, 아래 링크를 통해 관련 자료를 확인하실 수 있습니다.

이상기체 상태방정식과 단열공식에 대한 자세한 설명

위의 링크를 통해서 단열과정에서 음속이 왜 등온과정에서의 음속과 다른지, 그리고 식이 어떻게 유도되는지에 대한 추가적인 정보를 얻을 수 있습니다. 음속의 유도 과정이나 유체역학의 다른 주제에 대해 더 궁금한 점이 있다면 언제든지 질문해 주시기 바랍니다.

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