[회로이론] 회로이론2 제14강 예제16.3 문제풀이중에서 (Class, problem, page 112, Example 16.3, trigonometry, cosine composite formula, sine composite formula, complex number domain, Euler identity, waveform)

질문 요약

수업 마지막 문제 112페이지 예제16.3 (b)의 풀이에서 질문입니다.전체 풀이과정의 논리전개는 이해안가는 부분이 없으나 a1,a2,a3,b1,b2,b3항을 정리하는 과정에서 전부 삼각함수의 cosine합성식으로 정리를 해주었는데요, 갑자기 드는 생각이 삼각함수 합성이 sine으로의 합성식도 있는데 왜 구지 cosine으로만 합성해서 푸는지 의문이 들어서 질문드립니다.

답변 요약

질문하신 부분은 저도 잘 모르는 부분이어서 제가 현재 이해하는 범위 내에서 답변드리겠습니다. 복잡한 물리현상을 시간영역에서만 해석하는 것이 한계가 있어서 수학적으로 복소수영역까지 확장을 시켜서 해석을 하는데요 (오일러항등식 exp(jx)=cos(x)+j*sin(x)에서 알 수 있듯이) 이 과정에서 복소수계산으로 얻은 것의 실수부분이 실제 물리현상과 관련이 있습니다. 그래서 Acos(x+θ)에 의한 현상을 해석할 때 수학적으로 Acos(x+θ)+j*Asin(x+θ)에 의한 결과를 도출한 다음 그 결과의 실수부를 취하는 방식으로 접근을 하는 것에서 그 이유를 찾을 수 있습니다. 또 다른 이유는 직류를 주파수가 0인 정현파(w=0)로 이해를 하는 경우 sin(wt)=0, cos(wt)=1이므로 이 점에서 코사인함수가 장점을 가집니다. 더 본질적이고 중요한 이유가 있을수도 있는데요 혹시 공부하시다가 찾으시게 되면 저한테도 가르쳐주시면 감사하겠습니다.

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회로이론2 제14강 예제16.3 문제풀이 해설

회로이론 수업의 112페이지 예제16.3 (b) 문제풀이에서 삼각함수의 cosine 합성에 대한 의문이 제기되셨군요. 이 문제는 전자공학을 공부하는 많은 학생들이 헷갈려하는 부분 중 하나입니다. 여기서는 왜 cosine으로 합성해서 문제를 풀어야 하는지에 대해 설명하고자 합니다.

먼저 삼각함수의 합성 과정에서 cosine과 sine 중 어떤 것을 사용하느냐에 대한 선택은 문제의 조건과 풀이의 편의에 따라 달라질 수 있습니다. 그러나 회로이론에서는 특정한 이유로 cosine을 선호하는 경우가 많습니다.

오일러 항등식, 즉 exp(jx) = cos(x) + j*sin(x)는 복소수를 이용해 삼각함수를 표현하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 이 항등식을 통해 복소수의 세계로 넘어가는 것이죠. 회로이론에서는 이러한 복소수를 사용하여 교류 회로의 다양한 파형을 분석합니다.

복소수를 사용하는 주된 이유 중 하나는 교류 전류나 전압과 같은 양이 시간에 따라 변하는 정현파 형태를 가진다는 것입니다. 이때 복소수의 실수부가 물리적인 실제 값을 나타내며, 그 중에서도 cosine 함수가 많이 사용되는 이유는 다음과 같습니다.

1. 복소수의 실수부를 직접 해석하기 위해 cosine 형태로 표현하면 계산이 단순화되고 직관적인 결과를 얻을 수 있습니다.
2. 직류(DC)를 주파수가 0인 정현파로 간주할 때, cos(0t) = 1이 되어 DC 성분을 편하게 표현할 수 있습니다. 반면 sin(0t) = 0이므로 직류 성분을 표현하는 데에는 적합하지 않습니다.
3. 회로이론에서 초기상태 계산이나 강제 응답 분석을 할 때, 초기 조건을 코사인 함수로 설정하는 것이 더 효율적일 때가 많습니다.

따라서 삼각함수의 cosine 합성식을 사용하는 것은 위와 같은 이유들로 인해 문제를 푸는 데 있어서 더욱 유리하게 작용하는 것입니다. 물론 sine 함수로 합성하는 것이 더 적합한 상황도 있지만, 일반적인 회로이론 문제에서는 cosine 형태가 더 널리 사용됩니다.

예제16.3 (b) 문제에서 a1, a2, a3, b1, b2, b3 항을 코사인 함수로 합성하여 정리하는 과정은 교류 회로의 정상상태 해석에 있어서 일반적인 방법입니다. 이는 실제 물리현상을 반영하는 실수부를 용이하게 도출하기 위한 것입니다.

마지막으로, 본질적인 이유나 추가적인 설명이 필요하다면, 교수님이나 전문가의 도움을 받거나 관련 전공 서적을 참고하는 것이 좋습니다. 새로운 지식을 알게 되면 서로 공유하는 것이 학문 발전에 큰 도움이 됩니다. 질문자님께서도 추가적인 정보를 알게 되면 공유해 주시기 바랍니다.

이렇게 회로이론의 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학적인 접근 방법들은 복잡한 물리현상을 이해하고 해석하는 데 있어 필수적인 도구입니다. 삼각함수의 합성은 이러한 도구 중 하나이며, 실제 회로 해석에 있어서 매우 유용하게 사용됩니다.

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