[공학수학] 10강 공업수학 한방에 끝내기 - PDE (1D Wave) (2nd, order, ODE, homogeneous, F, p^2F, sine function, cosine function, shape, D, complex root)

질문 요약

2nd - order ODE homogeneous 개념이 나왔는데 이때 F(x) = Acospx+Bsinpx가 되는지 이해가 잘 되지 않았습니다. 도움을 부탁드립니다.

답변 요약

공업수학이 처음에는 어려울 수 있지만, 곧 적응하실 수 있습니다. 예를 들어, 'F' + p^2F = 0'라는 미분방정식을 볼 때, F가 사인 함수와 코사인 함수의 조합으로 나타날 수 있음을 예상할 수 있습니다. 이는 두 번째 미분된 F와 원래의 F가 비교했을 때 동일한 형태를 띠고 있고, p^2가 곱해져 있기 때문입니다. 보통 2차 상미분 방정식에서 차별적인 부분(D)이 0보다 작을 때, 즉 허근을 가질 때 이와 같은 조합으로 해를 구할 수 있다고 배웁니다. 상미분 방정식의 이러한 형태를 이해하시면 도움이 될 것입니다.

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[공학수학] 10강 공업수학 한방에 끝내기 - PDE (1D Wave)

안녕하세요 학생 여러분, 오늘의 강의에서는 공업수학의 중요 주제 중 하나인 1차원 파동방정식에 대해 다루어 보려고 합니다. 지난 시간에 이어 이번 강의에서는 2차 상미분방정식(2nd-order ODE) 중에서도 동차(homogeneous) 방정식을 해석하는 법을 자세히 알아보겠습니다.

먼저, 2차 상미분방정식이란 무엇일까요? 2차 상미분방정식이란 미지의 함수와 그 함수의 1차 및 2차 미분이 포함된 방정식을 말합니다. 여기서 동차라는 용어는 미분방정식의 우변이 0인 경우를 의미합니다. 즉, 우리는 'F'' + p^2F = 0'과 같은 형태의 미분방정식을 살펴보게 됩니다.

이제 여러분들이 질문하신 내용, 즉 왜 F(x) = Acos(px) + Bsin(px)의 형태로 해를 찾는지에 대한 설명을 해보겠습니다. 이러한 형태의 해를 찾는 이유는 특성방정식(characteristic equation)에서 시작합니다. 우리는 F(x) = e^λx 형태의 해를 가정하면, λ^2 + p^2 = 0이라는 특성방정식을 얻게 됩니다. 여기서 λ는 복소수가 되며, λ = ±ip라는 허수 해를 갖게 됩니다.

복소수 해를 가지는 경우, 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하여 이를 사인과 코사인 함수의 조합으로 나타낼 수 있습니다. 오일러의 공식에 따르면, e^(iθ) = cos(θ) + i*sin(θ)이므로, λ = ip일 때의 e^(ipx)는 cos(px) + i*sin(px)로 표현됩니다. 마찬가지로 λ = -ip일 때는 cos(-px) + i*sin(-px)가 되며, cos(-θ) = cos(θ)이고, sin(-θ) = -sin(θ)임을 고려하면 실제로는 cos(px) - i*sin(px)가 됩니다.

따라서 해를 구성하는 데 있어서, 이 두 복소수 함수의 실수 부분과 허수 부분을 각각 사용하여 실수 해를 구성할 수 있습니다. 이때, 임의의 실수 상수 A와 B를 사용하여 Acos(px)와 Bsin(px)로 실수 해를 표현하는 것입니다. 본질적으로, 이는 파동방정식과 같은 2차 상미분방정식에서 나타나는 주기적인 변화를 나타내는 수학적인 표현이며, 이를 통해 다양한 물리적 상황에서 발생하는 파동의 성질을 모델링할 수 있습니다.

이제 여러분들이 보내주신 파일을 살펴보고, 더 구체적인 질문에 대해 답변해 드리겠습니다. 다음은 여러분이 첨부해 주신 파일의 모습입니다.

파일을 통해 여러분의 질문을 더 깊이 이해할 수 있었습니다. 특히, 단순히 함수의 형태를 암기하는 것이 아니라, 왜 그러한 형태의 해가 나오는지에 대한 깊은 이해를 추구하는 여러분의 학문적 태도는 매우 인상적입니다. 계속해서 궁금한 점이 있으시면 언제든지 질문해 주시기 바랍니다.

마지막으로, 이러한 개념들을 공부하면서 여러분이 사용할 수 있는 유용한 키워드들을 정리해보았습니다. 이 키워드들을 참고하여 추가적인 학습을 진행하시면 더욱 도움이 될 것입니다.

• 2nd-order ODE
• homogeneous
• F
• p^2F
• 사인 함수(sin function)
• 코사인 함수(cos function)
• 오일러 공식(Euler's formula)
• D (차별적 부분)
• 허근(Complex roots)

공업수학이라는 과목은 여러분의 전공 지식을 실제 공학 문제에 적용하는 데 중요한 역할을 하므로, 오늘 배운 내용을 잘 숙지하시면 앞으로의 학습에 큰 도움이 될 것입니다. 앞으로도 열심히 공부하여 모든 공학적 문제를 수학적으로 해결하는 능력을 키우시길 바랍니다.

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